Презентация - "Презентация "ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА НЕПРЕРЫВНОСТЬ""

ТЕМА 6.5 Исследование функции на непрерывность
02.02.2023г.
РАЗДЕЛ 6. Производная и ее применение

ЦЕЛЬ ЗАНЯТИЯ
обобщить и расширить знания о числовых функциях, их свойствах и графиках;
закрепить навык нахождения области определения элементарной функции и исследования ее на непрерывность;
выработать умения и навыки исследования на непрерывность неэлементарной функции;
формировать умение анализировать функцию, делать выводы о непрерывности функции.

На занятии сегодня мы:
выясним, что такое непрерывность функции в точке, непрерывность на промежутке для неэлементарной функции;
познакомимся с методикой построения графиков таких функций;
научимся находить точки разрыва функции и решим множество интересных задач.

«Три пути ведут к знанию:
путь размышления – это самый благородный,
путь подражания – это самый легкий и
путь опыта – это самый горький».
Конфуций

На вашу рейтинговую оценку будут влиять две составляющие:
самооценка (оценка за выполнение тестовых заданий и решение задач на занятии)
оценка преподавателя (оценка за выполнение домашнего задания)

Рейтинговая оценка будет переведена в оценку по пятибалльной системе по следующей шкале:

К понятию непрерывной функции математика пришла, изучая в первую очередь различные законы движения. Пространство и время бесконечны, и зависимость, например, пути s от времени t, выраженная законом s = f(t), даёт пример непрерывной функции f(t). Непрерывно изменяется и температура нагреваемой воды, она также является непрерывной функцией от времени: T = f(t). Непрерывна и линия, если её можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги. Эта линия и является графиком непрерывной функции.

повторили основные элементарные функции,
сформулировали определение элементарной функции,
изучили теорему о непрерывности,
элементарной функции
научились исследовать элементарную функцию на непрерывность

НА ПРОШЛОМ ЗАНЯТИИ

ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ 5 МИН
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

5. По графику функции 𝒇 𝒙 найти односторонние пределы функции
в точке 𝒙 𝟎 .

5. По графику функции 𝒇 𝒙 найти односторонние пределы функции
в точке 𝒙 𝟎 .

5. По графику функции 𝒇 𝒙 найти односторонние пределы функции
в точке 𝒙 𝟎 .

В материалах для подготовки к ЕГЭ опубликована следующая задача:

ЗАДАЧА №7. Построить график функции
𝑦=𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 𝑥+1 𝑥+1 −1.

ЗАДАЧА. Исследовать на непрерывность функцию
𝒚=𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟐 − 𝒙+𝟏 𝒙+𝟏 −𝟏.
Определить точки разрыва функции, если они существуют. Выполнить чертёж.

Пример 1. 
Функция f(x) определена следующим образом:
𝑓 𝑥 = 0, при 𝑥<0 𝑥, при 0≤𝑥≤3 4−𝑥, при 𝑥>3
Будет ли эта функция непрерывной в каждой из граничных точек её ветвей, то есть в точках  x = 0 и  x = 3?

Пример 1.
Точка  x = 0

Односторонние пределы функции и значение функции в точке x = 0 должны быть найдены при той ветви функции, которая включает в себя эту точку.
Найдём левосторонний предел в этой точке:
𝑙𝑖𝑚 𝑥→0−0 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0−0 0=0.
Найдём правосторонний предел:
𝑙𝑖𝑚 𝑥→0+0 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0+0 𝑥=0.
Находим значение функции в точке х=0:
𝑓 0 = 𝑥 /𝑥=0 =0.
Как видим, односторонние пределы функции и значение функции в точке x = 0 равны. Следовательно, функция является непрерывной в точке x = 0.





𝑓 𝑥 = 0, при 𝑥<0 𝑥, при 0≤𝑥≤3 4−𝑥, при 𝑥>3

Пример 1.
Точка  x = 3

Найдём левосторонний предел в этой точке:
𝑙𝑖𝑚 𝑥→3−0 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3−0 𝑥=3.

Найдём правосторонний предел:

𝑙𝑖𝑚 𝑥→3+0 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3+0 4−𝑥 =4−3=1.

Находим значение функции в точке х=3:
𝑓 3 = 𝑥 /𝑥=3 =3.

Односторонние пределы функции в точке x = 3  не равны. Следовательно, функция в точке x = 3 терпит разрыв.





𝑓 𝑥 = 0, при 𝑥<0 𝑥, при 0≤𝑥≤3 4−𝑥, при 𝑥>3

Задача 1. ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ 8 МИН

Исследовать на непрерывность функцию 𝑓 𝑥 = 𝑥+2, если 𝑥≤−1 𝑥 2 +1, если −1<𝑥≤1 3−𝑥, если 𝑥>1
1- й вариант в точке  𝑥=−1
2- й вариант в точке  𝑥=1

Задача 1.
ПРОВЕРКА
Исследовать на непрерывность функцию 𝑓 𝑥 = 𝑥+2, если 𝑥≤−1 𝑥 2 +1, если −1<𝑥≤1 3−𝑥, если 𝑥>1
1- й вариант в точке  𝑥=−1
2- й вариант в точке  𝑥=1

Пример 2.

Исследовать функцию на непрерывность

𝑦= 𝑥 2 , если 𝑥≤2 2𝑥−4, если 𝑥>2

Пример 2.
Решение.

Функция 𝑦=2𝑥−4 при 𝑥∈ 2;+∞ непрерывна как элементарная.
Функция 𝑦= 𝑥 2 при 𝑥∈ −∞;2 непрерывна как элементарная.
Исследуем данную функцию на непрерывность в граничной точке 𝑥=2:
функция задана в точке 𝑥=2 и принимает значение 𝑓 2 = ( 𝑥 2 ) /𝑥=2 = 2 2 =4;
найдем односторонние пределы в этой точке
𝑙𝑖𝑚 𝑥→2−0 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2−0 𝑥 2 = 2 2 =4 ,
𝑙𝑖𝑚 𝑥→2+0 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2+0 2𝑥−4 =2∙2−4=0.
Левосторонний и правосторонний пределы не равны, значит, 𝑥=2 – точка разрыва функции.

Исследовать функцию на непрерывность
𝑦= 𝑥 2 , если 𝑥≤2 2𝑥−4, если 𝑥>2

Ответ: данная функция непрерывна
при 𝑥∈ −∞;2 и
𝑥∈ 2;+∞ ,
в точке 𝑥=2 функция терпит разрыв.

Задача 2. ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ 6 МИНУТ

Выполнить проверку графически, построив график функции 𝑦= 𝑥 2 , если 𝑥≤2 2𝑥−4, если 𝑥>2



КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ –

Задача 2.
ПРОВЕРКА



Выполнить проверку графически, построив график функции 𝒚= 𝒙 𝟐 , если 𝒙≤𝟐 𝟐𝒙−𝟒, если 𝒙>𝟐

Пример 3.
Исследовать функцию на непрерывность 𝑦= 𝑥+1 .

Решение. Функция 𝑦= 𝑥+1 не является элементарной, так как операция модуль – это логическая операция, а не арифметическая:
𝑦= 𝑥 = 𝑥, если 𝑥≥0 −𝑥, если 𝑥<0
Аналогично, получаем 𝑦= 𝑥+1 = 𝑥+1, если 𝑥+1≥0 − 𝑥+1 , если 𝑥+1<0 .
Таким образом,
𝑦= 𝑥+1 = 𝑥+1, если 𝑥≥−1 −𝑥−1, если 𝑥<−1

Задача 3
Аналогично, примеру 2 проведем исследование функции
𝑦= 𝑥+1 = 𝑥+1, если 𝑥≥−1 −𝑥−1, если 𝑥<−1 на непрерывность.

Задача 3
ПРОВЕРКА

Функция 𝑦=𝑥+1 при 𝑥∈ −1;+∞ непрерывна как элементарная.
Функция 𝑦=−𝑥−1 при 𝑥∈ −∞;−1 непрерывна как элементарная.
Исследуем данную функцию на непрерывность в граничной точке 𝑥=−1:
найдем значение функции в точке 𝑥=−1:
𝑓 −1 = 𝑥+1 / 𝑥=−1 =−1+1=0;
и односторонние пределы в этой точке:
𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1−0 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1−0 −𝑥−1 =− −1 −1=0,
𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1+0 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1+0 𝑥+1 =−1+1=0.






Левосторонний и правосторонний пределы равны значению функции
в точке, значит,
в точке 𝑥=−1 функция непрерывна, а, следовательно,
на всей числовой прямой.

ЗАДАЧА.






Исследовать на непрерывность функцию
𝒚=𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟐 − 𝒙+𝟏 𝒙+𝟏 −𝟏
Определить характер разрывов функции, если они существуют.
Выполнить чертёж.

Решение.
Как мы выяснили ранее 𝑥+1 = 𝑥+1, если 𝑥≥−1 −𝑥−1, если 𝑥<−1 , тогда функция
𝑦=𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 𝑥+1 𝑥+1 −1,если 𝑥≥−1 𝑥 2 − −𝑥−1 𝑥+1 −1,если 𝑥<−1
Исходная функция не определена в точке 𝑥=−1, так как знаменатель обращается в нуль. Поэтому в системе следует дополнительно указать условие 
𝑥≠−1, и первое неравенство сделать строгим:
𝑦= 𝑥 2 − 𝑥+1 𝑥+1 −1= 𝑥 2 − 𝑥+1 𝑥+1 −1,если 𝑥>−1 𝑥≠−1 𝑥 2 − −𝑥−1 𝑥+1 −1,если 𝑥<−1 = 𝑥 2 −2,если 𝑥>−1 𝑥≠−1 𝑥 2 , если 𝑥<−1

Функция не определена в точке 𝑥=−1, поэтому сразу можно сказать, что не является в ней непрерывной.
Функция 𝑦= 𝑥 2 −2 при 𝑥∈ −1;+∞ непрерывна как элементарная.
Функция 𝑦= 𝑥 2 при 𝑥∈ −∞;−1 непрерывна как элементарная.
Установим характер разрыва, для этого вычислим односторонние пределы
в граничной точке 𝑥=−1:
𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1−0 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1−0 𝑥 2 = −1 2 =1,
𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1+0 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1+0 𝑥 2 −2 =1−2=−1.




Исследуем функцию
𝑦= 𝑥 2 −2,если 𝑥>−1 𝑥≠−1 𝑥 2 , если 𝑥<−1

на непрерывность аналитически.

Теперь остаётся выполнить чертёж
𝑦= 𝑥 2 −2,если 𝑥>−1 𝑥≠−1 𝑥 2 , если 𝑥<−1
 
Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки 𝑥=−1, в точке 𝑥=−1 функция терпит разрыв.
В курсе высшей математики мы будем классифицировать разрывы функции, такой разрыв называют скачком функции.

ИТОГИ ЗАНЯТИЯ
МИКРОФОН

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
Исследовать на непрерывность функцию
 
Уровень А
𝑦=𝑓 𝑥 = 𝑥+1, если 𝑥≥0 𝑥−1, если 𝑥<0
Уровень Б
𝑦=𝑓 𝑥 = 2, если 𝑥≤−2 𝑥 2 , если −2<𝑥<1 −2𝑥+3, если 𝑥≥1
Уровень В
𝑦=𝑓 𝑥 = 𝑥 2 −𝑥 𝑥−1
Выполнить чертеж.

Уважаемые студенты, выполняйте задание, согласно выбранному уровню сложности в рабочей тетради, подписывайте каждую страницу тетради (пишите фамилию на полях), пишите разборчиво и аккуратно, снимки делайте качественно и отправляйте мне на почту.