Презентация - "Метод Эйлера и Рунге-Кутта"

Понятие о дифференциальном уравнении.
Метод Эйлера и Рунге-Кутта

Дифференциальное уравнение-
Это уравнение, в котором неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.
Например:

Порядок дифференциального уравнения-
Это наивысший порядок производной (или дифференциала), входящей в уравнение .
Например: уравнения
2-го порядка,

1-ого порядка.

Обыкновенное дифференциальное уравнение
Это дифференциальное уравнение, в котором неизвестная функция, входящая в уравнение, зависит только от одной независимой переменой. Например:

Параметры дифференциального уравнения
Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка в самом общем случае содержит независимую переменную x , неизвестную функцию y и ее производные или дифференциалы до n-го порядка включительно и имеет вид

Решение дифференциального уравнения-
Это всякая дифференцируемая функция
удовлетворяющая этому уравнению, т.е. такая, после подстановки которой в уравнение оно обращается в тождество.

Задача Коши-
Найти решение уравнения
удовлетворяющее дополнительным условиям, состоящим в том, что решение должно принимать вместе со своими производными до (n-1)-го порядка заданные числовые значения при заданном числовом значении независимой переменной x:


при

Решение дифференциальных уравнений численными методами
Методы приближенного решения дифференциальных уравнений
Аналитические методы
дают приближенное решение дифференциального уравнения в виде аналитического выражения
Численные методы
дают приближенное решение дифференциального уравнения в виде
таблицы

Решить дифференциальное уравнение численным методом -
это значит для заданной последовательности аргументов x0,x1,…,xn и числа y0 , не определяя функцию y=F(x) , найти такие значения y1,…,yn, что yi=F(xi) и F(x0)=y0.

Методы численного решения дифференциальных уравнений
Метод Эйлера
Модификации метода Эйлера
Метод Рунге-Кутта
Метод Адамса

Метод Эйлера

Постановка задачи
Пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка y`=f(x,y) с начальным условием x=x0 , y(x0)=y0 . Требуется найти решение уравнения y`=f(x,y) на отрезке [a,b].

Все вычисления по методу Эйлера удобно располагать в таблице

Решение дифференциального уравнения методом Эйлера
Проинтегрировать методом Эйлера дифференциальное уравнение y`=y-x с начальным условием y(0)=1,5 на отрезке[0;1,5], приняв h=0,25. Вычисления вести с четырьмя знаками после запятой.

Метод Рунге-Кутта
Пусть необходимо найти численное решение уравнения y’=f(x, y), при условии, что y(x0)=y0

Идея метода состоит и в представлении разности
Δy(x)=y(x+h)-y(x)(1.1)
В виде суммы поправок kj с коэффициентами рj

Δy=p1k1+ p2k2+…+ prkr ,

Метод Рунге-Кутта
где k1=f(x, y),

k2=f(x+α2h, y=β21k1), …,

kr=hf(x+αrh, y=βr1k1+ βr2k2+…+ βrr-1kr-1).

Коэффициенты рj , αj , βji находят сравнением разложений Δy и ki по степеням h.

Метод Рунге-Кутта
В случае r=4 получают




(1.2)



(1.3)

Метод Рунге-Кутта



При x=x0 с помощью формул (1.1)-(1.3) находим

(1.4)

Метод Рунге-Кутта
Где

(1.5)






(1.6)

Метод Рунге-Кутта
Пример. Методом Ренге-Кутта найти решение задачи Коши для уравнения y`=y-x2, y(1)=0,
x [1, 2] в первых пяти точках, взяв h=0,1

Решение. Поскольку в данном примере f(x, y)= y-x2 , и в силу условия x0 =1, y0 =0,
то f(x0 , y0 )= y0- =0-1=-1.

Метод Рунге-Кутта
По формулам (1.6) находим







По формуле (1.5) вычисляем

Метод Рунге-Кутта
Значение y1 вычисляем по формуле y1 = y0+Δy0 (см. формулу (1.4) при i=0).

y1 = 0+(-0,1158)=-0,1158

Таким образом, полученное приближенное значение

y1 =-0,1158 при x1 =1,1

Метод Рунге-Кутта

C помощью формул (1.6) при i=1 найдём приближённое значение y2 при x2 =1,1, решив задачу Коши для того же уравнения y`=y-x2 ,
y(1,1)=-0,1158.

Далее находим y3,y4,y5.

Метод Рунге-Кутта
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 










По формуле (1.5) вычисляем

Метод Рунге-Кутта

Метод Рунге-Кутта
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 










По формуле (1.5) вычисляем

Домашнее задание
Работа с конспектом
1. Решить задачу: Проинтегрировать методом Эйлера дифференциальное уравнение y`=2(x+y) с начальным условием y(0)=0 на отрезке[1;2], приняв h=0,2. Вычисления вести с четырьмя знаками после запятой

2. Методом Рунге-Кутта, приняв h=0,1, найти приближённые решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющие условиям: