Презентация - "Презентация "Решение уравнений с отбором корней". Задание 12, ЕГЭ профильный уровень"

ЕГЭ профильный уровень, задание 12.
Решение уравнений с отбором корней.

Игнатьева Нина Фёдоровна
учитель математики
МАОУ «Лицей №11 г. Благовещенска»

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
«Лицей №11 города Благовещенска»

ЕГЭ, задание 12
Тригонометрические уравнения
Ло­га­риф­ми­че­ские уравнения
По­ка­за­тель­ные уравнения
Рациональные уравнения
Иррациональные уравнения
Уравнения смешанного типа 

Примеры заданий в вариантах ЕГЭ 2010-2014гг

Примеры заданий в вариантах ЕГЭ 2015-2018гг

Примеры заданий в вариантах ЕГЭ 2019-2022гг
а) Решите уравнение  2 sin 2 х− 3π 2 + 3 sin2 х=0 .
б)Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку[2π; 7π 2 ]
а)  Решите уравнение  2 sin 2 х+ 3 2 cos 3π 2 +х +2=0 .
б)Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [ 5π 2 ;4π]
а) Решите уравнение  4 cos 3 х −2 3 cos2 х + 3cos х =2 3 .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку[ 2π; 7π 2 ]
а) Решите уравнение  2 cos 2 х −3 sin (−х )−3=0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку[ 5π 2 ;4π].
а) Решите уравнение  sin2 х −2 sin (−х )− cos (−х )−1=0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [ 2π; 7π 2 ]

ЕГЭ, задание 12

Задание содержит два пункта:
а) решить уравнение;
б) отобрать корни на данном промежутке.
Соответственно в ответе должно быть две части:
а) все корни уравнения;
б)отобранные на данном промежутке корни.

ЕГЭ, задание 12 рекомендовано
Решение уравнения лучше никак не комментировать и не писать знаков равносильности.
Отбор корней можно проводить разными способами, но рекомендуется его провести на окружности. При этом в начале отбора стоит написать фразу: отберём корни с помощью единичной окружности. На окружности обязательно должны быть обозначены: точки -концы промежутка (дуги), сами корни и жирным выделить саму дугу.

ЕГЭ, задание 12 необходимо
Обязательно должна быть показана в
п.б) процедура отбора корней уравнения, попадающих в заданный промежуток; только простого предъявления «нужных» корней недостаточно.

Запись ответа в работе участника экзамена может отличаться от приведённой в критериях (содержать один целочисленный параметр n или несколько n, m, k). Важно, чтобы в ответе были приведены все решения пункта а.
ЕГЭ, задание 12
допускается:

Пример решения задания 12, демоверсия ЕГЭ 2019

Пример решения задания 12, демоверсия ЕГЭ 2022

Критерии проверки задания 12
Вычислительная ошибка в понимании эксперта

Мониторинг выполнения задания 12.
ЕГЭ, профильный уровень (%).

ЕГЭ, задание 12
основные ошибки
в формулах корней простейшего тригонометрического уравнения

𝒔𝒊𝒏𝒙= 𝟏 𝟐
х=± 𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁;

х= −𝟏 𝒏 𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁;
х= −𝟏 𝒏 𝝅 𝟔 +𝝅𝒏.

ЕГЭ, задание 12
основные ошибки
в формулах корней простейших тригонометрических уравнений

ЕГЭ, задание 12
основные ошибки
Незнание множества значений тригонометрических функций

𝒔𝒊𝒏𝒙= 𝟒 𝟑
𝒙= (−𝟏) 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 𝟒 𝟑 + 𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁
𝒙=±𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 𝟑 𝟐 𝟐 + 𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁
𝒄𝒐𝒔𝒙= 𝟑 𝟐 𝟐
−𝟏≤𝒔𝒊𝒏𝒙≤𝟏
−𝟏≤𝒄𝒐𝒔𝒙≤𝟏

ЕГЭ, задание 12
основные ошибки
Деление обеих частей уравнения на sinx или на cosx.
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙=𝒄𝒐𝒔𝒙𝒔𝒊𝒏𝒙 / :𝒔𝒊𝒏𝒙
!!! потеря серии корней:
𝒙= 𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙−𝒄𝒐𝒔𝒙𝒔𝒊𝒏𝒙=𝟎
𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙−𝒄𝒐𝒔𝒙 =𝟎
𝒔𝒊𝒏𝒙=𝟎 или 𝒔𝒊𝒏𝒙−𝒄𝒐𝒔𝒙=𝟎
𝒂𝒙 𝟐 +𝒃𝒙=𝟎
𝒙 𝒂𝒙+𝒃 =𝟎

ЕГЭ, задание 12
основные ошибки
При решении уравнений вида:
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙=𝒂; 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙=𝒂.
𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙= 𝟑 𝟒
𝒄𝒐𝒔𝒙= 𝟑 𝟐



!!! потеря серии корней:

𝒙= − 𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒏𝝐𝒁
𝒙 𝟐 =𝒂
𝒙 𝟏 = 𝒂 или 𝒙 𝟐 =− 𝒂
𝒄𝒐𝒔𝒙− 𝟑 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙+ 𝟑 𝟐 =𝟎
𝒄𝒐𝒔𝒙− 𝟑 𝟐 =𝟎 или 𝒄𝒐𝒔𝒙+ 𝟑 𝟐 =𝟎

ЕГЭ, задание 12
основные ошибки
Неправильное использование формул приведения.

ЕГЭ, задание 12
основные ошибки
Незнание свойств четных и нечетных функций.

ЕГЭ, задание 12
основные ошибки
 Неправильное или некорректное использование тригонометрических формул.
𝟔 𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟒 +𝒙 +𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 == 𝟑 𝒄𝒐𝒔𝒙−𝟐

𝒔𝒊𝒏 𝟐 −𝒙 =− 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟑𝝅 𝟐 −𝒙 = − 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙

𝒔𝒊𝒏 𝟐 −𝒙 = 𝐬𝐢𝐧 −𝒙 𝟐 =(− 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝟐 = 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙
𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝟑𝛑 𝟐 −𝐱 =( 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝛑 𝟐 −𝐱 ) 𝟐 = (− 𝐜𝐨𝐬𝐱) 𝟐 = 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝐱

ЕГЭ, задание 12
основные ошибки
 Неверное определение промежутка на окружности
y
x
0
𝐱∈ − 𝟓𝛑 𝟐 ;−𝛑
−𝛑
y
x
0
−𝟐𝛑
y
x
0

Овладения методами решения задания,
начальный этап
Работа с тригонометрической окружностью

Овладения методами решения задания 12, начальный этап
тригонометрические формулы

Овладения методами решения задания 12, начальный этап
решение простейших тригонометрических уравнений

Овладения методами решения задания 12, начальный этап
задачи на отбор корней без решения уравнений
𝒙=± 𝝅 𝟒 +𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁;
𝒙≠± 𝟑𝝅 𝟒 +𝟐𝝅𝒌, 𝒌𝝐𝒁.
2𝛑𝐧≤𝐱≤𝛑+𝟐𝛑𝐧 , 𝐧𝛜𝐙;
𝐱=± 𝟏 𝟑 𝛑+𝛑𝐤, 𝐤𝛜𝐙;
 
Сколько корней на отрезке имеет данная серия решений?
𝒙=±𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬⁡(−𝟎,𝟐)+ 𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁
 
[−𝟑𝝅;−𝝅]; [𝟑𝝅;𝝅]; [𝟑,𝟓𝝅;𝟔,𝟓𝝅].
 

Методы решения тригонометрических уравнений:
Метод равносильных преобразований с применением формул;
Метод замены, сведение к алгебраическому уравнению;
Метод разложения на множители;
Метод вспомогательного аргумента (линейные уравнения);
Функциональный метод.

Замена переменной и сведение к квадратному уравнению.
𝟏. Решите уравнение: 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙+𝟓𝒔𝒊𝒏𝒙=𝟓
𝟐(𝟏− 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙)+𝟓𝒔𝒊𝒏𝒙=𝟓
𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙−𝟓𝒔𝒊𝒏𝒙+𝟑=𝟎
Замена: 𝒔𝒊𝒏𝒙=𝒕, 𝒕𝝐[−𝟏;𝟏]
𝟐.Решите уравнение: 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙−𝟓 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙=𝟓
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙= 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙−𝟏
𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙−𝟓 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙−𝟔=𝟎
Замена: 𝒄𝒐𝒔𝒙=𝒕, 𝒕𝝐[−𝟏;𝟏].
𝟑.Решите уравнение: 𝟖 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙−𝟐 𝟑 𝐜𝐨𝐬 𝝅 𝟐 −𝒙 −𝟗=𝟎
𝐜𝐨𝐬 𝝅 𝟐 −𝒙 =𝒔𝒊𝒏𝒙
𝟖 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙−𝟐 𝟑 𝒔𝒊𝒏𝒙−𝟗=𝟎
Замена: 𝒔𝒊𝒏𝒙=𝒕, 𝒕𝝐[−𝟏;𝟏].

Разложение на множители.
1.Решите уравнение: 𝑠𝑖𝑛2𝑥=𝑐𝑜𝑠𝑥. 
2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥=0, 𝑐𝑜𝑠𝑥 2𝑠𝑖𝑛𝑥−1 =0
2.Решите уравнение: 𝑠𝑖𝑛3𝑥+𝑠𝑖𝑛7𝑥=𝑠𝑖𝑛5𝑥. 
2𝑠𝑖𝑛5𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥−2𝑠𝑖𝑛5𝑥=0,
2𝑠𝑖𝑛5𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥−1 =0.
3.Решите уравнение: 𝑠𝑖𝑛 2 2𝑥+ 𝑠𝑖𝑛 2 3𝑥=1.
𝑠𝑖𝑛 2 2𝑥= 1−𝑐𝑜𝑠2𝑥 2 ; 1−𝑐𝑜𝑠4𝑥 2 + 1−𝑐𝑜𝑠6𝑥 2 =1,
𝑐𝑜𝑠4𝑥+ 𝑐𝑜𝑠6𝑥=0, 𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛽=2𝑐𝑜𝑠 𝛼+𝛽 2 𝑐𝑜𝑠 𝛼−𝛽 2 ,
2𝑐𝑜𝑠5𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥=0.

Метод вспомогательного аргумента (линейные уравнения);
𝒔𝒊𝒏𝒙+ 𝒄𝒐𝒔𝒙=𝟏

𝒙+ 𝝅 𝟒 = 𝝅 𝟒 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁 , 𝒙+ 𝝅 𝟒 = 𝟑𝝅 𝟒 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁
𝒙=𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁 , 𝒙= 𝝅 𝟐 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁
𝐬𝐢𝐧 𝒙+𝒚 =𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒚+𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒚,
𝟏∙𝒔𝒊𝒏𝒙+𝟏∙𝒄𝒐𝒔𝒙=𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒚+ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒚=𝟏, 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 =𝟐≠𝟏
𝟏∙𝒔𝒊𝒏𝒙+𝟏∙𝒄𝒐𝒔𝒙=𝟏 / : n
𝟏 𝒏 𝒔𝒊𝒏𝒙+ 𝟏 𝒏 𝒄𝒐𝒔𝒙= 𝟏 𝒏
𝟏 𝒏 𝟐 + 𝟏 𝒏 𝟐 =𝟏, 𝟐 𝒏 𝟐 =𝟏, 𝒏 𝟐 =𝟐, n=± 𝟐
𝟏 𝟐 𝒔𝒊𝒏𝒙+ 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙= 𝟏 𝟐 , 𝒄𝒐𝒔 𝝅 𝟒 𝒔𝒊𝒏𝒙+ 𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟒 𝒄𝒐𝒔𝒙= 𝟏 𝟐
𝐬𝐢𝐧 𝒙+ 𝝅 𝟒 = 𝟏 𝟐

Метод вспомогательного аргумента (линейные уравнения);

𝒂𝒔𝒊𝒏𝒙+𝒃𝒄𝒐𝒔𝒙=𝒄, 𝒂≠𝟎,𝒃≠𝟎,𝒄≠𝟎.
если 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 ≠𝟏 разделим на 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 ,
𝒂 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙+ 𝒃 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 𝒔𝒊𝒏𝒙= 𝒄 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐
( 𝒂 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 ) 𝟐 + ( 𝒃 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 ) 𝟐 =1
∃𝝋, 𝒔𝒊𝒏𝝋 = 𝒂 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 , 𝒄𝒐𝒔𝝋 = 𝒃 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 ,
где 𝝋 − и есть вспомогательный угол.
𝒂 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 ≤𝟏; 𝒃 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 ≤𝟏.
𝐬𝐢𝐧 𝒙+𝝋 = 𝒄 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐

Метод оценок
−𝟏≤𝒔𝒊𝒏𝒙≤𝟏, −𝟏≤𝒄𝒐𝒔𝒙≤𝟏
𝒔𝒊𝒏𝟓𝒙+𝒔𝒊𝒏𝟗𝒙=𝟏
Так как −𝟏≤𝒔𝒊𝒏𝟓𝒙≤𝟏, −𝟏≤𝒔𝒊𝒏𝟗𝒙≤𝟏, то
𝒔𝒊𝒏𝟓𝒙=𝟏,
𝒔𝒊𝒏𝟗𝒙=𝟏;
𝟓𝒙= 𝝅 𝟐 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁 ,
𝟗𝒙= 𝝅 𝟐 +𝟐𝝅𝒌, 𝒌𝝐𝒁;
𝒙= 𝝅 𝟏𝟎 + 𝟐𝝅𝒏 𝟓 , 𝒏𝝐𝒁 ,
𝒙= 𝝅 𝟏𝟖 + 𝟐𝝅𝒌 𝟗 , 𝒌𝝐𝒁.
𝝅 𝟏𝟎 + 𝟐𝝅𝒏 𝟓 = 𝝅 𝟏𝟖 + 𝟐𝝅𝒌 𝟗 ,
 
𝟗+𝟑𝟔𝒏=𝟓+𝟐𝟎𝒌,
𝟐𝟎𝒌=𝟑𝟔𝒏+𝟒,
𝟓𝒌=𝟗𝒏+𝟏.
𝒏: 𝟓𝒎; 𝟓𝒎+𝟏; 𝟓𝒎+𝟐; 𝟓𝒎+𝟑; 𝟓𝒎+𝟒, где 𝒎∈𝒁.
𝒙= 𝝅 𝟏𝟎 + 𝟐𝝅𝒏 𝟓 = 𝝅 𝟏𝟎 + 𝟐𝝅(𝟓𝒎+𝟏 𝟓 = 𝝅 𝟏𝟎 + 𝟏𝟎𝝅𝒎+𝟐𝝅 𝟓 = 𝝅 𝟐 +𝟐𝝅𝒎.
Ответ :
𝒙= 𝝅 𝟐 +𝟐𝝅𝒎, 𝒎∈𝒁.

Методы отбора корней тригонометрических уравнений
арифметический;
алгебраический;
геометрический (на тригонометрической окружности или на числовой прямой);
функционально – графический

Арифметический метод отбора корней.

Арифметический метод –это
а) непосредственная подстановка полученных корней в уравнение и имеющиеся ограничения;
б) перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.
Замечание. В решении должна присутствовать оценка возможных решений целочисленного параметра.

Алгебраический метод отбора корней.

Алгебраический метод – это
а) это решение двойного неравенства относительно целочисленного параметра и вычисления корней;
б) исследование уравнений с двумя переменными.

б) Укажите корни, принадлежащие промежутку [ 𝟕𝝅 𝟔 ; 𝟑𝝅 𝟐 ].
𝒙= 𝟑𝝅 𝟖 + 𝝅𝒏 𝟐 , 𝒏𝝐𝒁, 
𝒙= 𝝅 𝟏𝟔 + 𝝅𝒌 𝟒 , 𝒌𝝐𝒁.

1. Первая серия корней:
𝟕𝝅 𝟔 ≤ 𝟑𝝅 𝟖 + 𝝅𝒏 𝟐 ≤ 𝟑𝝅 𝟐 , 𝒏∈𝒁;
28 𝝅≤ 9 𝝅+12𝝅𝒏≤ 36 𝝅, 𝒏∈𝒁;
19 ≤ 12𝒏≤ 27, 𝒏∈𝒁.
𝒏 = 2, 𝒙= 𝟏𝟏𝝅 𝟖 .

2. Вторая серия корней:
𝟕𝝅 𝟔 ≤ 𝝅 𝟏𝟔 + 𝝅𝒌 𝟒 ≤ 𝟑𝝅 𝟐 , 𝒌∈𝒁;
56𝝅≤ 3𝝅+12𝝅𝒌≤ 72𝝅, 𝒌∈𝒁;
53𝝅 ≤ 12𝝅𝒌≤ 69𝝅, 𝒌∈𝒁.
53 ≤ 12 𝒌≤ 69, 𝒌∈𝒁
𝒌 = 5, 𝒙= 𝟐𝟏𝝅 𝟏𝟔 .

Геометрический метод отбора корней.

Геометрический метод – это
а) изображение корней на тригонометрической окружности и их отбором с учётом имеющихся ограничений;
б) изображений корней на числовой прямой с последующим отбором и учётом ограничений.

Задание. Укажите корни уравнения 𝑐𝑜𝑠𝑥= 2 2 , принадлежащие промежутку [− 𝟏𝟏𝝅 𝟒 ;− 𝟕𝝅 𝟔 ). (𝒙=± 𝝅 𝟒 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁)

2
3
4
5

Функционально- графический метод отбора корней.

Функционально- графический метод – это
Отбор корней с использованием графиков простейших тригонометрических функций.

а) Решите уравнение  𝒄𝒐𝒔𝒙− 𝟐 𝟐 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙−𝟏 =𝟎;
 
б) Укажите корни, принадлежащие промежутку [− 𝟕𝝅 𝟔 ; 𝟓𝝅 𝟔 ].

𝒄𝒐𝒔𝒙= 𝟐 𝟐 ,
𝒔𝒊𝒏𝒙> 𝟏 𝟐 ;
𝒙=± 𝝅 𝟒 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏∈𝒁,
𝒔𝒊𝒏𝒙> 𝟏 𝟐
Ответ :
𝒙= 𝝅 𝟒 +𝟐𝝅𝐧, 𝐧∈𝒁

ЕГЭ, задание 12
𝟐. 𝒂)Решите уравнение 𝒄𝒐𝒔𝒙+𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙+ 𝝅 𝟔 +𝟏= 𝟑 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [4𝜋; 𝟏𝟏𝝅 𝟐 ].
𝟏. 𝑎) Решите уравнение 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥− 3𝜋 2 + 3 𝑠𝑖𝑛2𝑥=0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку   [2𝜋; 7𝜋 2 ].

ЕГЭ, задание 12
4. 𝑎)Решите уравнение 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙−𝟐 𝒔𝒊𝒏(−𝒙) −𝐜𝐨𝐬(−𝒙)−𝟏=𝟎
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку   [ 5𝜋 2 ;4𝜋].
3. 𝑎)Решите уравнение 𝟒 𝒄𝒐𝒔 𝟑 𝒙−𝟐 𝟑 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙+𝟑𝒄𝒐𝒔𝒙=𝟐 𝟑 .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку   [− 7𝜋 2 ;−2𝜋].
5.𝑎) Решите уравнение 𝟓𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙−𝟑𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟓𝐜𝐨𝐬𝒙+𝟒 =0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку    [−3,5𝜋;−2𝜋].

ЕГЭ, задание 12 (ответы)
𝟐.𝒂)𝒙= 𝝅 𝟐 +𝝅𝒌, 𝒌𝝐𝒁; 𝒙=± 𝟐𝝅 𝟑 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁;
б) 𝒙= 𝟗𝝅 𝟐 ; 𝒙= 𝟏𝟒𝝅 𝟑 ; 𝒙= 𝟏𝟔𝝅 𝟑 ;𝒙= 𝟏𝟏𝝅 𝟐 .
𝟏.
a) 𝒙= 𝝅 𝟐 +𝝅𝒌, 𝒌𝝐𝒁; 𝒙=− 𝝅 𝟔 +𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁;
б) 𝒙= 𝟓𝝅 𝟐 ; 𝒙= 𝟏𝟕𝝅 𝟔 ; 𝒙= 𝟕𝝅 𝟐 .

𝟑.𝒂)𝒙= 𝝅 𝟐 +𝝅𝒌, 𝒌𝝐𝒁; 𝒙=± 𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁;
б) 𝒙= − 𝟕𝝅 𝟐 ; 𝒙=− 𝟓𝝅 𝟐 ; 𝒙=− 𝟏𝟑𝝅 𝟔 .

ЕГЭ, задание 12 (ответы)
5.𝒂)𝒙= 𝝅𝒌, 𝒌𝝐𝒁; 𝒙=𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝟓 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁;

б ) 𝒙=−𝟐𝝅.

4.
a) 𝒙=𝝅+𝟐𝝅𝒌, 𝒌𝝐𝒁; 𝒙= 𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏𝝐𝒁;
𝒙= 𝟓𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒍, 𝒍𝝐𝒁; б) 𝒙= 𝟏𝟕𝝅 𝟔 ; 𝒙=𝟑𝝅.

Оценка решения
Ответ:a) – 2π 3 +2πk; – π 3 +2πk, k∈Z; б) – 8π 3 ;– 7π 3 .

Оценка решения
Ответ:a) – 2π 3 +2πk; – π 3 +2πk, k∈Z; б) – 8π 3 ;– 7π 3 .

0б

Оценка решения
а) Решите уравнение 2 log 4 2 4 sin х −5 log 4 4 sin х +2=0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [− 3𝜋 2 ;0].
Ответ: а) 𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏 𝝐𝒁 , 𝟓𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒎, 𝒎𝝐𝒁; б) − 𝟕𝝅 𝟔 .

Оценка решения
а) Решите уравнение 2 log 4 2 4 sin х −5 log 4 4 sin х +2=0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [− 3𝜋 2 ;0].
Ответ: а) 𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏 𝝐𝒁 , 𝟓𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒎, 𝒎𝝐𝒁; б) − 𝟕𝝅 𝟔 .
0б

Оценка решения
а) Решите уравнение  𝟐𝐬𝐢𝐧 𝟐х+ 𝝅 𝟑 − 𝟑 𝐬𝐢𝐧 х= 𝐬𝐢𝐧𝟐 х + 𝟑 .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [ 𝟐𝝅; 𝟕𝝅 𝟐 ].

Ответ: а) − 𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏 𝝐𝒁 , − 𝟓𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒎, 𝒎𝝐𝒁; б) 𝟐𝝅; 𝟑𝝅; 𝟏𝟗𝝅 𝟔 .

Оценка решения
а) Решите уравнение  𝟐𝐬𝐢𝐧 𝟐х+ 𝝅 𝟑 − 𝟑 𝐬𝐢𝐧 х= 𝐬𝐢𝐧𝟐 х + 𝟑 .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [ 𝟐𝝅; 𝟕𝝅 𝟐 ].

Ответ: а) − 𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏 𝝐𝒁 , − 𝟓𝝅 𝟔 +𝟐𝝅𝒎, 𝒎𝝐𝒁; б) 𝟐𝝅; 𝟑𝝅; 𝟏𝟗𝝅 𝟔 .
Об

Оценка решения

Оценка решения
0б
Л.О!

Спасибо за внимание