Презентация - "Решение уравнений с модулями"
- Презентации / Другие презентации
- 0
- 11.04.23
Просмотреть и скачать презентацию на тему "Решение уравнений с модулями"
Решение уравнений с модулями
Выполнила:
ученица 11 класса Бугреева Ангелина
Руководитель: Филимонова Е.В.
Актуальность работы:
Уравнения с модулями, нередко встречаются на математических олимпиадах, вступительных экзаменах в институты и на ЕГЭ. Несмотря на все это, программой школьного курса математики уделяется не достаточно времени этой теме.
Объект исследования:
Уравнения с модулями
Цель работы:
узнать какие существуют способы и виды решения уравнений с модулями.
Задачи:
1.Изучить виды уравнений с модулями
2.Изучить свойства модулей.
3.Изучить способы решения уравнений, содержащих модуль.
4.Решить каждый вид уравнения с модулем всеми способами, если это возможно
Гипотеза:
Для решения уравнений с модулями существуют различные способы их решения. Я предполагаю, что существует ли универсальный способ решения подходящий для всех уравнений.
Основные понятия:
Геометрическое определение:
Модулем числа A называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки
Алгебраическое определение:
Модуль числа а или абсолютная величина числа а равна а, если а больше или равна нулю или равна –а, если а меньше нуля.
Вид записи:
|a| = a, если a ≥ 0 и |a| = -a, если a < 0
-а 0 а
а
а
Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера»
Свойства модуля:
1. ǀаǀ ≥ 0
2. ǀаǀ = ǀ-аǀ
3. ǀаǀ ≥ а
4. ǀаbǀ = ǀаǀ ǀbǀ
5. ǀа𝑏ǀ = ǀаǀǀ𝑏ǀ , b ǂ 0
6. ǀа + bǀ ≤ ǀаǀ + ǀbǀ
7. ǀа + bǀ = ǀаǀ + ǀbǀ, аb ≥ 0
8. ǀаǀ + ǀbǀ = а + b, а ≥ 0 и b ≥ 0
9. ǀа - bǀ = ǀаǀ + ǀbǀ, аb ≤ 0
10. ǀаǀ - ǀbǀ ≥ 0, а² - b² ≥ 0
Виды решения уравнений, содержащих модуль:
12 слайд
Примеры:
1) |x| = 7, т.к. 7 > 0, то x = ±7;
2) |x| = -7, т.к. -7 < 0, то уравнение не имеет корней;
3) |x| = 0, то x = 0.
13 слайд
2. Уравнение вида |f(x)| = b, где b > 0.
Для решения данного уравнения необходимо избавиться от модуля.
Делаем это так: f(x) = b или f(x) = -b. Теперь необходимо решить отдельно каждое из полученных уравнений. Если в исходном уравнении b< 0, решений не будет.
14 слайд
Примеры:
1) |x + 5| = 7, т.к. 7 > 0, то
x + 5 = 7 или x + 5 = -7
x = 2 x = -12
Ответ: -12; 2
2) |x2 – 4| = 12, т.к. 12 > 0, то
x2 – 4 = 12 или x2 – 5 = -12
x2 = 16 x2 = -7
x = ± 4 нет корней
Ответ: ± 4
3) |x2 – 5x| = -8 , т.к. -8 < 0, то уравнение не имеет корней.
15 слайд
3. Уравнение вида |f(x)| = g(x).
Такое уравнение будет иметь решения, если его правая часть больше или равна нулю, т.е. g(x) ≥ 0.
Тогда будем иметь:
f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).
16 слайд
Примеры:
|x – 9| = 6x – 12.
Данное уравнение будет иметь корни, если 6x – 12 ≥ 0. Именно с этого и начинают решение таких уравнений.
1. Допустимые значения 6x – 12 ≥ 0
6x ≥ 12
x ≥ 2.
2. Решение:
x –9 = 6x – 12 или x – 9 = -(6x – 12)
-5x = -3 7x = 21
x = 3/5 x = 3
3. Объединяем допустимые значения . и решение, получаем:
Корень x =3/5 не подходит по допустимым значениям, он меньше 2, а x = 3 этому условию удовлетворяет.
Ответ: 3
17 слайд
4. Уравнение вида |f(x)| = |g(x)|.
Такое уравнение равносильно двум следующим уравнениям
f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).
18 слайд
Примеры:
1) |x2 – 3x + 2| = |3x – 6|.
Данное уравнение равносильно двум следующим:
x2 – 3x + 2 = 3x – 6 или x2 – 3x +2 = -3x + 6
x2 – 6x + 8 = 0 x2 + 2 = 6
x = 2 или x = 4 x = 2 или x = -2
Ответ:-2;2;4.
19 слайд
5. Уравнения, решаемые способом подстановки (замены переменной).
20 слайд
Примеры:
x2 – 9|x| + 8 = 0.
x2 = |x|2, поэтому уравнение можно переписать так:
|x|2 – 9|x| + 8 = 0. Сделаем замену
|x| = t ≥ 0, тогда будем иметь:
t2 – 9t + 8 = 0.
Решая данное уравнение, получаем, что t = 1 или t =8. Вернемся к замене:
|x| = 1 или |x| = 8
x = ±1 x = ± 8
Ответ: -8;-1;1;8.
21 слайд
Способы решения уравнений содержащих модуль.
Основные понятия
22 слайд
23 слайд
1 способ. Метод последовательного раскрытия модуля.
Пример 1. Решим уравнение |х-7|=4.
Произведем следующие рассуждения. Если выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно, то есть х-7≥0, то уравнение примет вид х-7=4. Если значение выражения под знаком модуля отрицательно, то по определению оно будет равно
– (х-7)=4 или х-7= -4. Решая полученные уравнения, находим: х1=3, х2=11.
Ответ: 3; 11.
|a|= a, если а ≥ 0
|a|= -a, если а < 0
24 слайд
Пример 2. Решим уравнение ||2х-1|-4|=6.
1) |2х-1|-4=6, |2х-1|=10.
Используя еще раз определение модуля, получим: 2х-1=10 либо 2х-1= -10.
Откуда х1=5,5, х2= -4,5.
2) |2х-1|-4= -6, |2х-1|= -2.
Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как по определению модуль всегда неотрицателен.
Ответ:-4,5;5,5
25 слайд
2 способ. Метод интервалов.
Метод интервалов – это метод разбиения числовой прямой на промежутки, в которых по определению модуля знак абсолютной величины можно будет снять. Для каждого из промежутков необходимо решить уравнение и сделать вывод относительно получившихся корней. Корни, удовлетворяющие промежуткам, и дадут окончательный ответ.
26 слайд
Примеры:
Пример 3. Решим уравнение |х+3|+|х-1|=6.
Найдем корни (нули) каждого выражения, содержащегося под знаком модуля: х+3=0, х= -3; х-1=0, х=1. Эти значения х разбивают числовую прямую на три промежутка:
Ответ: -4; 2.
-
27 слайд
3 способ. Графический метод.
Суть данного метода заключается в использовании графиков функций для нахождения корней уравнения. Этот метод реже других применяют для решения уравнений, содержащих модуль, так как, во-первых, он занимает достаточно много времени и не всегда рационален, а, во-вторых, результаты, полученные при построении графиков, не всегда являются точными.
28 слайд
Примеры:
Пример 5. |х+1|=2. Построим графики функций у=|х+1| и у=2.
Для построения графика у=|х+1|, построим график функции у=х+1, а затем отразим часть прямой, лежащую ниже оси ОХ. Абсциссы точек пересечения графиков и есть корни уравнения: х1=1, х2= -3. Ответ: -3;1.
29 слайд
4 способ. Метод решения при помощи зависимостей между числами а и в, их модулями и квадратами этих чисел.
|а|=|в| а=в или а=-в;
а2=в2 а=в или а=-в; (1)
|а|=|в| а2=в2 (2)
30 слайд
Примеры:
Пример 6. Решим уравнение |х2-10х+5|=|х2-5|.
Учитывая соотношение (1), получим:
х2-10х+5= х2-5 или х2-10х+5= -х2+5
х=1 х=0 или х=5.
Ответ: 0;1;5.
31 слайд
5 способ. Использование геометрической интерпретации модуля.
Опорная информация: геометрический смысл модуля разности величин – это расстояние между ними. Например, геометрический смысл выражения |х-а| - длина отрезка координатной оси, соединяющей точки с абсциссами а и х. Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких решений.
32 слайд
Примеры:
Пример 7. |х+3|=|х-9|.
В силу соотношения (2) получаем: (х+3)2=(х-9)2;
х2+6х+9= х2-18х+81;
х=3
Ответ:3
Пример 8. (3-2х)2=(х-6)2.
Учитывая соотношение (2), получаем: |3-2х|=|х-6|, откуда из соотношения (1), имеем:
3-2х=х-6 или 3-2х=-(х-6)
х=3 х=-3.
Ответ: -3; 3.
33 слайд
Вывод:
В начале данного исследования была поставлена цель, изучить решение уравнений с модулями. Для достижения этой цели были рассмотрены виды уравнений, содержащих модуль, их свойства и способы решения, были выявлены достоинства и недостатки
34 слайд
35 слайд
https://yravneniyawithmodule
36 слайд
https://yravneniyawithmodule
37 слайд
Список литературы
https://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2011/06/19/metodicheskie-rekomendatsii-po-teme-reshenie-uravneniy-s-modulem-v
http://nenuda.ru
https://infourok.ru/sposobi-resheniya-uravneniy-soderzhaschih-modul-398462.html
Галицкий М.Л.,Гольдман А.М.,Звавич Л.И.Сборник задач по алгебре для 8-9 классов:Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучение математики.-М.:Просвещение,1994-271с
Алгебра и начала анализа:Учебник для 10 класса общеобразовательных учреждений/С.М.Никольский, М.К.Потапов Н.Н. Решетников, А.В.Шевкин.- М.:Просвещение,2001-381с
Алгебра и начала анализа:Учебник для 11 класса общеобразовательных учреждений/С.М.Никольский, М.К.Потапов Н.Н. Решетников, А.В.Шевкин.- М.:Просвещение,2002-448с
Доброва О.Н. Задания по алгебре и математическому анализу:пособие для учащихся 9-11 классов общеобразовательных учреждений.- М.:Просвещение,1996-351с
Углубленное изучение алгебры и математического анализа:Методические рекомендации и дидактические материалы :Пособие для учителя М.:Просвещение,1997-350с
38 слайд
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
Краткое описание документа:
Презентация представлена к научно-исследовательской работе. Автор разбирает разные способы решения уравнений с модулями, и подводит итог.
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
6 074 023 материала в базе
Другие материалы
1. Рассмотрим уравнение вида |x| = с, где с – действительное число.
Все действительные числа разобьем на три группы: те, что больше нуля, те, что меньше нуля, и третья группа – это число 0. Запишем решение в виде схемы:
{±c, если с > 0
Если |x| = c, то x = {0, если с = 0
{нет корней, если с < 0
12 слайд
Примеры:
1) |x| = 7, т.к. 7 > 0, то x = ±7;
2) |x| = -7, т.к. -7 < 0, то уравнение не имеет корней;
3) |x| = 0, то x = 0.
13 слайд
2. Уравнение вида |f(x)| = b, где b > 0.
Для решения данного уравнения необходимо избавиться от модуля.
Делаем это так: f(x) = b или f(x) = -b. Теперь необходимо решить отдельно каждое из полученных уравнений. Если в исходном уравнении b< 0, решений не будет.
14 слайд
Примеры:
1) |x + 5| = 7, т.к. 7 > 0, то
x + 5 = 7 или x + 5 = -7
x = 2 x = -12
Ответ: -12; 2
2) |x2 – 4| = 12, т.к. 12 > 0, то
x2 – 4 = 12 или x2 – 5 = -12
x2 = 16 x2 = -7
x = ± 4 нет корней
Ответ: ± 4
3) |x2 – 5x| = -8 , т.к. -8 < 0, то уравнение не имеет корней.
15 слайд
3. Уравнение вида |f(x)| = g(x).
Такое уравнение будет иметь решения, если его правая часть больше или равна нулю, т.е. g(x) ≥ 0.
Тогда будем иметь:
f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).
16 слайд
Примеры:
|x – 9| = 6x – 12.
Данное уравнение будет иметь корни, если 6x – 12 ≥ 0. Именно с этого и начинают решение таких уравнений.
1. Допустимые значения 6x – 12 ≥ 0
6x ≥ 12
x ≥ 2.
2. Решение:
x –9 = 6x – 12 или x – 9 = -(6x – 12)
-5x = -3 7x = 21
x = 3/5 x = 3
3. Объединяем допустимые значения . и решение, получаем:
Корень x =3/5 не подходит по допустимым значениям, он меньше 2, а x = 3 этому условию удовлетворяет.
Ответ: 3
17 слайд
4. Уравнение вида |f(x)| = |g(x)|.
Такое уравнение равносильно двум следующим уравнениям
f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).
18 слайд
Примеры:
1) |x2 – 3x + 2| = |3x – 6|.
Данное уравнение равносильно двум следующим:
x2 – 3x + 2 = 3x – 6 или x2 – 3x +2 = -3x + 6
x2 – 6x + 8 = 0 x2 + 2 = 6
x = 2 или x = 4 x = 2 или x = -2
Ответ:-2;2;4.
19 слайд
5. Уравнения, решаемые способом подстановки (замены переменной).
20 слайд
Примеры:
x2 – 9|x| + 8 = 0.
x2 = |x|2, поэтому уравнение можно переписать так:
|x|2 – 9|x| + 8 = 0. Сделаем замену
|x| = t ≥ 0, тогда будем иметь:
t2 – 9t + 8 = 0.
Решая данное уравнение, получаем, что t = 1 или t =8. Вернемся к замене:
|x| = 1 или |x| = 8
x = ±1 x = ± 8
Ответ: -8;-1;1;8.
21 слайд
Способы решения уравнений содержащих модуль.
Основные понятия
22 слайд
23 слайд
1 способ. Метод последовательного раскрытия модуля.
Пример 1. Решим уравнение |х-7|=4.
Произведем следующие рассуждения. Если выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно, то есть х-7≥0, то уравнение примет вид х-7=4. Если значение выражения под знаком модуля отрицательно, то по определению оно будет равно
– (х-7)=4 или х-7= -4. Решая полученные уравнения, находим: х1=3, х2=11.
Ответ: 3; 11.
|a|= a, если а ≥ 0
|a|= -a, если а < 0
24 слайд
Пример 2. Решим уравнение ||2х-1|-4|=6.
1) |2х-1|-4=6, |2х-1|=10.
Используя еще раз определение модуля, получим: 2х-1=10 либо 2х-1= -10.
Откуда х1=5,5, х2= -4,5.
2) |2х-1|-4= -6, |2х-1|= -2.
Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как по определению модуль всегда неотрицателен.
Ответ:-4,5;5,5
25 слайд
2 способ. Метод интервалов.
Метод интервалов – это метод разбиения числовой прямой на промежутки, в которых по определению модуля знак абсолютной величины можно будет снять. Для каждого из промежутков необходимо решить уравнение и сделать вывод относительно получившихся корней. Корни, удовлетворяющие промежуткам, и дадут окончательный ответ.
26 слайд
Примеры:
Пример 3. Решим уравнение |х+3|+|х-1|=6.
Найдем корни (нули) каждого выражения, содержащегося под знаком модуля: х+3=0, х= -3; х-1=0, х=1. Эти значения х разбивают числовую прямую на три промежутка:
Ответ: -4; 2.
-
27 слайд
3 способ. Графический метод.
Суть данного метода заключается в использовании графиков функций для нахождения корней уравнения. Этот метод реже других применяют для решения уравнений, содержащих модуль, так как, во-первых, он занимает достаточно много времени и не всегда рационален, а, во-вторых, результаты, полученные при построении графиков, не всегда являются точными.
28 слайд
Примеры:
Пример 5. |х+1|=2. Построим графики функций у=|х+1| и у=2.
Для построения графика у=|х+1|, построим график функции у=х+1, а затем отразим часть прямой, лежащую ниже оси ОХ. Абсциссы точек пересечения графиков и есть корни уравнения: х1=1, х2= -3. Ответ: -3;1.
29 слайд
4 способ. Метод решения при помощи зависимостей между числами а и в, их модулями и квадратами этих чисел.
|а|=|в| а=в или а=-в;
а2=в2 а=в или а=-в; (1)
|а|=|в| а2=в2 (2)
30 слайд
Примеры:
Пример 6. Решим уравнение |х2-10х+5|=|х2-5|.
Учитывая соотношение (1), получим:
х2-10х+5= х2-5 или х2-10х+5= -х2+5
х=1 х=0 или х=5.
Ответ: 0;1;5.
31 слайд
5 способ. Использование геометрической интерпретации модуля.
Опорная информация: геометрический смысл модуля разности величин – это расстояние между ними. Например, геометрический смысл выражения |х-а| - длина отрезка координатной оси, соединяющей точки с абсциссами а и х. Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких решений.
32 слайд
Примеры:
Пример 7. |х+3|=|х-9|.
В силу соотношения (2) получаем: (х+3)2=(х-9)2;
х2+6х+9= х2-18х+81;
х=3
Ответ:3
Пример 8. (3-2х)2=(х-6)2.
Учитывая соотношение (2), получаем: |3-2х|=|х-6|, откуда из соотношения (1), имеем:
3-2х=х-6 или 3-2х=-(х-6)
х=3 х=-3.
Ответ: -3; 3.
33 слайд
Вывод:
В начале данного исследования была поставлена цель, изучить решение уравнений с модулями. Для достижения этой цели были рассмотрены виды уравнений, содержащих модуль, их свойства и способы решения, были выявлены достоинства и недостатки
34 слайд
35 слайд
https://yravneniyawithmodule
36 слайд
https://yravneniyawithmodule
37 слайд
Список литературы
https://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2011/06/19/metodicheskie-rekomendatsii-po-teme-reshenie-uravneniy-s-modulem-v
http://nenuda.ru
https://infourok.ru/sposobi-resheniya-uravneniy-soderzhaschih-modul-398462.html
Галицкий М.Л.,Гольдман А.М.,Звавич Л.И.Сборник задач по алгебре для 8-9 классов:Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучение математики.-М.:Просвещение,1994-271с
Алгебра и начала анализа:Учебник для 10 класса общеобразовательных учреждений/С.М.Никольский, М.К.Потапов Н.Н. Решетников, А.В.Шевкин.- М.:Просвещение,2001-381с
Алгебра и начала анализа:Учебник для 11 класса общеобразовательных учреждений/С.М.Никольский, М.К.Потапов Н.Н. Решетников, А.В.Шевкин.- М.:Просвещение,2002-448с
Доброва О.Н. Задания по алгебре и математическому анализу:пособие для учащихся 9-11 классов общеобразовательных учреждений.- М.:Просвещение,1996-351с
Углубленное изучение алгебры и математического анализа:Методические рекомендации и дидактические материалы :Пособие для учителя М.:Просвещение,1997-350с
38 слайд
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
Краткое описание документа:
Презентация представлена к научно-исследовательской работе. Автор разбирает разные способы решения уравнений с модулями, и подводит итог.
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
6 074 023 материала в базе
