Презентация - "Презентация по алгебре на тему "Способы отбора корней на заданном отрезке при решении тригонометрических уравнений" (11 класс)"

СПОСОБЫ ОТБОРА КОРНЕЙ НА ЗАДАННОМ ОТРЕЗКЕ ПРИ РЕШЕНИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Чурсина Ида Артуровна,
учитель математики
МАОУ СОШ №28.г. Томска

Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:  преобразование уравнения для получения его простейшего вида  и  решение 
полученного простейшего 
тригонометрического уравнения.

𝒙=𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒂+𝟐𝝅𝒌, 𝒌∈𝒁 𝒙=−𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒂+𝟐𝝅𝒌, 𝒌∈𝒁

𝒙=𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒂+𝟐𝝅𝒌, 𝒌∈𝒁 𝒙=𝝅−𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒂+𝟐𝝅𝒌, 𝒌∈𝒁

Способы отбора корней
в тригонометрических
уравнениях

Арифметический способ: перебор значений
целочисленного параметра и вычисление корней
Алгебраический способ: решение неравенства
относительно неизвестного целочисленного параметра
и вычисление корней
Геометрический способ: изображение корней
на тригонометрической окружности с последующим
отбором с учетом имеющихся ограничений
Функционально-графический способ: изображение корней
на графике соответствующей тригонометрической функции
с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений.

РЕШЕНИЕ: a)
2 𝑐𝑜𝑠𝑥+ 3 𝑐𝑡𝑔𝑥 = 3 ∙𝑡𝑔𝑥 ⇔ 2 𝑐𝑜𝑠𝑥+ 3 = 3 , 𝑐𝑡𝑔𝑥≠0 ⇔𝑐𝑜𝑠𝑥=− 3 2 ⇔

⇔ 𝑥=− 5𝜋 6 +2𝜋𝑘, 𝑥= 5𝜋 6 +2𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍.
𝒕𝒈𝜶∙𝒄𝒕𝒈𝜶=𝟏
𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 −𝒂 =𝝅−𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒂

б) Арифметический способ: перебор значений
целочисленного параметра и вычисление корней
𝑥=− 5𝜋 6 +2𝜋𝑘, 𝑥= 5𝜋 6 +2𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍
k=0: 𝑥=− 5𝜋 6 ∈ −𝜋;0 𝑥= 5𝜋 6 ∉ −𝜋;0
k=1: 𝑥= 7𝜋 6 ∉ −𝜋;0 𝑥= 17𝜋 6 ∉ −𝜋;0
𝑘=−1: 𝑥=− 17𝜋 6 ∉ −𝜋;0 𝑥=− 7𝜋 6 ∉ −𝜋;0
ОТВЕТ: б)− 5𝜋 6
−𝜋;0

б) Арифметический способ: перебор значений
целочисленного параметра и вычисление корней
𝑥=− 5𝜋 6 +2𝜋𝑘, 𝑥= 5𝜋 6 +2𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍
2𝜋; 7𝜋 2

k=0: 𝑥=− 5𝜋 6 ∉ 2𝜋; 7𝜋 2 𝑥= 5𝜋 6 ∉ 2𝜋; 7𝜋 2
k=1: 𝑥= 7𝜋 6 ∉ 2𝜋; 7𝜋 2 𝑥= 17𝜋 6 ∈ 2𝜋; 7𝜋 2
𝑘=2: 𝑥= 19𝜋 6 ∈ 2𝜋; 7𝜋 2 𝑥= 29𝜋 6 ∉ 2𝜋; 7𝜋 2
ОТВЕТ: б) 17𝜋 6 : 19𝜋 6

б) Алгебраический способ: решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней
𝑥=− 5𝜋 6 +2𝜋𝑘, 𝑥= 5𝜋 6 +2𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍
−𝜋≤− 5𝜋 6 +2𝜋𝑘≤0
−6𝜋≤−5𝜋+12𝜋𝑘≤0
−6≤−5+12𝑘≤0
−1≤12𝑘≤5
− 1 12 ≤𝑘≤ 5 12
𝑘∈𝑍, ⇒𝑘=0, 𝑥=− 5𝜋 6

−𝜋≤ 5𝜋 6 +2𝜋𝑘≤0
−6𝜋≤5𝜋+12𝜋𝑘≤0
−6≤5+12𝑘≤0
−11≤12𝑘≤−5
− 11 12 ≤𝑘≤− 5 12
𝑘∈𝑍, ⇒𝑘= ⊘,
ОТВЕТ: б)− 5𝜋 6
−𝜋;0

б) Алгебраический способ: решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней
𝑥=− 5𝜋 6 +2𝜋𝑘, 𝑥= 5𝜋 6 +2𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍
2𝜋; 7𝜋 2

2𝜋≤− 5𝜋 6 +2𝜋𝑘≤ 7𝜋 2
12𝜋≤−5𝜋+12𝜋𝑘≤21𝜋
12≤−5+12𝑘≤21
17≤12𝑘≤26
17 12 ≤𝑘≤ 26 12
𝑘∈𝑍, ⇒𝑘=2, 𝑥= 19𝜋 6

2𝜋≤ 5𝜋 6 +2𝜋𝑘≤ 7𝜋 2
12𝜋≤5𝜋+12𝜋𝑘≤21𝜋
12≤5+12𝑘≤21
7≤12𝑘≤16
7 12 ≤𝑘≤ 16 12
𝑘∈𝑍, ⇒𝑘=1, 𝑥= 17𝜋 6
ОТВЕТ: б) 17𝜋 6 : 19𝜋 6

𝑥=− 5𝜋 6 +2𝜋𝑘, 𝑥= 5𝜋 6 +2𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍
б) Геометрический способ: изображение корней
на тригонометрической окружности с последующим
отбором с учетом имеющихся ограничений
−𝜋;0
𝑥 1
−𝜋
0
ОТВЕТ: б)− 5𝜋 6
𝑐𝑜𝑠𝑥=− 3 2
𝑥 2
𝑥 1 = 5𝜋 6 ,∉ −𝜋;0 𝑥 2 =− 5𝜋 6 ,∈ −𝜋;0

б) Геометрический способ: изображение корней
на тригонометрической окружности с последующим
отбором с учетом имеющихся ограничений
2𝜋; 7𝜋 2
𝑐𝑜𝑠𝑥=− 3 2

𝑥 1
𝑥 2
𝑥 1 =3𝜋− 𝜋 6 = 17𝜋 6 ,∈ 2𝜋; 7𝜋 2 𝑥 2 =3𝜋+ 𝜋 6 = 19𝜋 6 ,∈ 2𝜋; 7𝜋 2
2𝜋
7𝜋 2
ОТВЕТ: б) 17𝜋 6 : 19𝜋 6

б) Функционально-графический способ: изображение корней на графике соответствующей тригонометрической функции с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений.

−𝜋;0
ОТВЕТ: б)− 5𝜋 6
− 𝟓𝝅 𝟔
𝑐𝑜𝑠𝑥=− 3 2
𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥, 𝑦=− 3 2 .

б) Функционально-графический способ: изображение корней на графике соответствующей тригонометрической функции с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений.

2𝜋; 7𝜋 2
𝑐𝑜𝑠𝑥=− 3 2

ОТВЕТ: б) 17𝜋 6 : 19𝜋 6
𝑦=− 3 2
𝑥 1
𝑥 2
𝟕𝝅 𝟐
𝑥 1 =3𝜋− 𝜋 6 = 17𝜋 6 𝑥 2 =3𝜋+ 𝜋 6 = 19𝜋 6

 а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Тренируемся. Выберите наиболее
рациональный способ отбора коней
а) перебор значений
б) решение неравенства
в) на тригонометрической окружности
г) с помощью графика тригонометрической функции

 а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Тренируемся. Выберите наиболее
рациональный способ отбора коней
а) перебор значений
б) решение неравенства
в) на тригонометрической окружности
г) с помощью графика тригонометрической функции

Проверяем
С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку 
Х
Х1
Х2
Х3
Х1=


Х2 =


Х3 =
Ответ: б) 7𝜋 6 ; ; .
𝜋+ 𝜋 6 = 7𝜋 6

Проверяем
С помощью графика функции отберём корни, принадлежащие отрезку 
Х1=


Х2 =


Х3 =
Ответ: б) ; ; .
Х1
Х2
Х3

Тренируемся. Выберите наиболее
рациональный способ отбора коней
а) перебор значений
б) решение неравенства
в) на тригонометрической окружности
г) с помощью графика тригонометрической функции
а) Решите уравнение 
б) Найдите решения уравнения, принадлежащие отрезку [3; 5].

Тренируемся. Выберите наиболее
рациональный способ отбора коней
а) перебор значений
б) решение неравенства
в) на тригонометрической окружности
г) с помощью графика тригонометрической функции
а) Решите уравнение 
б) Найдите решения уравнения, принадлежащие отрезку [3; 5].

Проверяем
б) Найдём решения уравнения, принадлежащие отрезку [3; 5].
х ;
[3; 5].
≤
k = 1, x =
[3; 5].
k 0,
≤
( )
k 2, x


[3; 5].
Ответ: б) .

Спасибо за внимание!