Презентация - "Проект "Применение геометрии Евклида""

Применение геометрии Евклида
Выполнили:
Кондратьев Андрей
Душин Алексей
Галимов Сергей Руководитель проекта: преподаватель математики :Сысоева Елена Михайловна.
Группа:
П-17-19(АК)

План проекта:
Краткая историческая справка о Евклиде.
«Начала» Евклида.
Современная трактовка системы аксиом Евклида.
Применение Евклидовой геометрии на практике.
Неевклидова геометрия.
Вывод.

Цель, задачи, объект исследования.
Цель: Исследовать способы и сферы применения Евклидовой геометрии на практике.
Задачи: Проанализировать труды Евклида, в особенности «Начала» и найти общую область применения Евклидовой геометрии; Разобраться в причинах появления неевклидовой геометрии.
Объект исследования: Труды Евклида, в основном «Начала».

Кто же такой Евклид?
 Евклид, или Эвклид – древнегреческий математик, автор первых дошедших до нас теоретических трактатов по математике. К сожалению, о его жизни известно только то, что жил он около 300 года до нашей эры и что расцвет его творчества приходится на Александрийский период развития культуры и науки.

Что открыл Евклид?
 «Начала» Евклида – научное произведение,  содержащее основы античной математики; элементарной геометрии, теории чисел, алгебры, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов. Евклид подвел в этом сочинении итог трехсотлетнему развитию греческой математики и создал прочный фундамент для дальнейших математических исследований.

“Начала” состоит из 13 книг. Первая книга начинается с 23 «определений», среди них такие: точка есть то, что не имеет частей; прямая есть линия, одинаково расположенная относительно всех своих точек. 

В книге 1 даны определения понятий, используемых в дальнейшем. Они носят интуитивный характер, поскольку определены в терминах физической реальности: «точка есть то, что не имеет частей», «поверхность есть то, что имеет только длину и ширину», и т.д. За этими определениями следуют пять требований или постулатов. 

Постулаты Евклида
От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг.
Все прямые углы равны между собой.
Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

В книге 2 заложены основы так называемой геометрической алгебры. Все величины в ней представлены геометрически, и операции над числами выполняются геометрически. Произведение двух чисел, АВ, таким образом, – не что иное, как площадь прямоугольника со сторонами А и В. Произведение трех чисел – объем. 
ЫS=A*b
S=A⋅B
A
B

Книга 3 целиком посвящена геометрии окружности, а в книге 4 изучаются правильные многоугольники, вписанные в окружность, а также описанные вокруг нее. 

Книга 5 о теории пропорций 
Книга 6 посвящена планиметрии

В книгах 7-9 изложены начала теории чисел, основанные на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя, приводится алгоритм Евклида, сюда входят теории делимости и теорема о бесконечности множества простых чисел. 

Книга 10  содержит классификацию квадратичных иррациональных величин, которые там представлены геометрически прямыми и прямоугольниками. 

Книга 11 посвящена стереометрии. 
В книге 12, с помощью метода исчерпывания площади криволинейных фигур сравниваются с площадями многоугольников.
Предметом книги 13 является построение правильных многогранников.  

Современная трактовка системы аксиом.
Современной трактовке система аксиом Евклида может быть разделена на пять групп:
1)аксиомы сочетания.
2)аксиомы порядка.
3)аксиомы движения.
4)аксиомы непрерывности.
5)аксиома параллельности Евклида. 

Аксиомы сочетания.
через каждые две точки можно провести прямую и притом только одну.
на каждой прямой лежат по крайней мере две точки. При этом существуют хотя бы три точки, которые не лежат на одной прямой.
через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну.
на каждой плоскости есть по крайней мере три точки, а также существуют хотя бы четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
если две точки данной прямой лежат на данной плоскости, значит и сама прямая лежит на этой плоскости.
если две плоскости имеют общую точку, то, следовательно они имеют и общую прямую.

Аксиомы порядка.
если точка В лежит между А и С, то все три лежат на одной прямой.
для каждых точек А, В существует такая точка С, что В лежит между А и С.
из трёх точек прямой только одна лежит между двумя другими.
если прямая пересекает одну сторону треугольника, значит она пересекает при этом и другую его сторону или проходит через вершину (отрезок AB определяется как множество точек, лежащих между А и В; аналогично определяются стороны треугольника).

Аксиомы движения.
движение ставит в соответствие точкам точки, прямым прямые, плоскостям плоскости, сохраняя принадлежность точек прямым и плоскостям.
два последовательных движения вновь дают движение, и для всякого движения есть обратное.
если даны точки А, A’ и полуплоскости A, A‘, ограниченные продолженными полупрямыми а, а’, которые исходят из точек А, A’, то существует единственное движение, переводящее А, а, A в A’, a’, A’ (полупрямая и полуплоскость легко определяются на основе понятий сочетания и порядка).

Аксиомы непрерывности.
как гласит аксиома Архимеда, всякий отрезок можно перекрыть любым отрезком, откладывая на первом его достаточное количество раз (откладывание отрезка осуществляется движением).
согласно аксиоме Кантора: если дана последовательность отрезков, вложенных один в другой, то все они имеют хотя бы одну общую точку.

Аксиома параллельности Евклида.
Через точку А вне прямой а в плоскости, проходящей через А и а, можно провести лишь одну прямую, не пересекающую а.

Где же применяется Геометрия Евклида?
В ходе исследования мы выяснили, что Евклидова геометрия применима исключительно в плоскостях нулевой кривизны. Проанализировав разного рода сферы занятости людей мы пришли к выводу, что наиболее часто Евклидова геометрия используется в Архитектуре, Строительстве и Геодезии.

Строительство и архитектура
Можно представить, что строителю необходимо поменять пол для последующей укладки паркета. Это требует заливки пола раствором на высоту 10 см.  Для этого ему нужно знать объем заливаемого раствора. Длина пола 6 метров, ширина 4 метра. При помощи формулы S = a×b он узнает, что площадь пола равна 24 квадратных метра. Он знает, что пол ему надо поднять ровно на 10 сантиметров, и используя формулу V=S×h Он узнает, что объем  пола составляет  2,4 кубометра.

Геодезия
Для измерения ширены реки, геодезист должен встать напротив любого объекта с другой стороны реки и воткнуть на это место колышек, после чего необходимо пройти вдоль реки такое расстояние, чтобы угол между ним и объектом был 45°. В итоге на реке образуется равнобедренный треугольник, в котором расстояние от объекта до колышка (искомая ширина реки) равно расстоянию от колышка до геодезиста.

Ракета
Проектирование и постройка макета ракеты возле Аэрокосмического университета также не обошлось без применения Евклидовой геометрии, корпус ракеты должен быть цилиндрической формы, а наконечник верхушка ракеты должна быть конусообразной для придания ракете аэродинамичной формы, без использования евклидовой геометрии таких форм добиться было бы невозможно.

Неевклидова геометрия
 Неевклидова геометрия — в буквальном понимании — любая геометрическая система, которая отличается от геометрии Евклида; однако традиционно термин «неевклидова геометрия» применяется в более узком смысле и относится только к традиционным неевклидовым геометрическим системам: геометрии Лобачевского и сферической геометрии (или схожей с ней геометрии Римана).

Зачем нужна неевклидова геометрия?
Дело в том что геометрия Евклида не всегда может быть использована при решении задач, т.к. она используется исключительно в плоскостях нулевой кривизны, а объекты в задачах могут представлять собой искривлённые фигуры, такие как сфера, что привело к созданию сферической геометрии (Римана) и геометрии Лобачевского, реализующихся в пространствах с положительной и отрицательной кривизной соответственно.

Вывод:
Практическая направленность Евклидовой геометрии крайне широка и можно с уверенностью сказать, что существование геометрии в целом без геометрии Евклида никак не возможно, но также у Евклидовой геометрии есть и недостаток в области реализации, в следствии чего были созданы сферическая геометрия и геометрия Лобачевского.

Источники:
Биография Евклида
(https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%95%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D0%B4)
Описание книг Евклида
(https://w.histrf.ru/articles/article/show/nachala_ievklida)
Современная трактовка аксиом
(http://geometry-and-art.ru/evklid.html)
Неевклидова геометрия
(https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B5%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F)
Задачи:
http://matematiku.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=2368&Itemid=45
https://multiurok.ru/files/matiematika-v-stroitiel-stvie.html
Картинки были взяты с открытых источников, таких как Google.com и нарисованны вручную.