Презентация - "Индивидуальный проект на тему "Применение теоремы Виета в уравнениях n-ой степени""

Итоговый индивидуальный проект
на тему:
«Применение теоремы Виета в уравнениях n-ой степени»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
г. Нижневартовска «МБОУ СШ № 3»

Выполнила:
Ученица 11 класса «Б»
Средней школы № 3
Кайгородова Екатерина Олеговна
Руководитель:
учитель математики-
Куликова Елена Георгиевна
г. Нижневартовск,
2022г.

Актуальность: теорема Виета находит широкое применение в алгебре, так как многие уравнения сводятся к квадратным. Так же, есть задачи, решение которых сводится к решению квадратных уравнений.
Решаемая проблема: уравнения n-ой степени постоянно попадаются ученикам и многие из них пользуются иными способами их решения т. к не умеют решать их через теорему Виета, либо умеют решать с помощью неё только квадратные уравнения, если коэффициент «а» (число перед x2) равен 1. Так же, теореме Виета уделяется не так много времени на школьных уроках, поэтому не все ухватывают данный материал или, со временем, забывают его.
Цель проекта: изучить применение теоремы Виета в уравнениях n-степени и сделать её изучение доступным и понятным для всех учеников.
Социальная значимость проекта: данный проект может быть полезен ученикам 9-11 классов при решении уравнений степени выше 2. Так как такие уравнения каждый год попадаются не только на ЕГЭ, но и на ОГЭ.
Методы исследования: изучение и обобщение, анализ, сравнение.

Введение
Франсуа Виет.

Франсуа Виет - знаменитый французский ученый, который начинал свою трудовую деятельность как адвокат. Но, очевидно, математика была его призванием. Находясь на королевской службе в качестве советника, он прославился тем, что сумел прочесть перехваченное зашифрованное послание короля Испании в Нидерланды. Это давало французскому королю Генриху III возможность знать обо всех намерениях его противников. Постепенно приобщаясь к математическим знаниям, Франсуа Виет пришел к выводу, что должна существовать тесная связь между новейшими в то время изысканиями «алгебраистов» и глубоким геометрическим наследием древних. В ходе научных изысканий им была разработана и сформулирована практически вся элементарная алгебра. Он впервые ввел использование буквенных величин в математический аппарат, четко разграничив понятия: число, величина и их отношения. Виет доказал, что, выполняя операции в символьном виде, можно решить задачу для общего случая, практически для любых значений заданных величин. Его изыскания для решения уравнений больших степеней, чем вторая, вылились в теорему, которая сейчас известна, как обобщенная теорема Виета. Она имеет большое прикладное значение, и ее применение дает возможность быстрого решения уравнений более высоко порядка.
В школе ученики достаточно подробно изучают теорему Виета для квадратных уравнений. Однако сфера применения формул Виета значительно шире.

Основные понятия:
Для изучения данной темы сперва вспомним основные понятия-

1) Уравнение- математическое равенство, содержащее неизвестные величины;
2)Корень уравнения- значение переменной, при котором данное равенство обращается в верное;
3)Переменная- величина, которая может изменять своё (как правило, численное) значение;
4)Решить уравнение- найти все значения переменных, при которых выполняется равенство, или доказать, что их нет.
5) Уравнения высших степеней - уравнения, в которых старшая степень при переменной больше либо равна трем. На данный момент не существует какой-либо единой схемы для решения уравнений высших степеней.

Обобщенная теорема Виета для многочленов n-ой степени:
Второе соотношение доказано:  𝑋 1 ∗𝑋 2 = 𝑐 𝑎

Докажем теорему Виета для уравнений 3 степени:
1)Данное уравнение можно разложить на множители 𝑎 𝑥 3 +𝑏 𝑥 2 +𝑐𝑥+𝑑=
= (x- 𝑥 1 )(𝑥− 𝑥 2 )(𝑥− 𝑥 3 ), при a=1.
2)Раскроем эти скобки и получим: ( 𝑥 2 −𝑥 𝑥 2 −𝑥 𝑥 1 + 𝑥 1 𝑥 2 )(𝑥− 𝑥 3 )=
= 𝑥 3 - 𝑥 2 𝑥 2 − 𝑥 2 𝑥 1 +𝑥 𝑥 1 𝑥 2 − 𝑥 2 𝑥 3 −𝑥 𝑥 2 𝑥 3 −𝑥 𝑥 1 𝑥 3 − 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 =
= 𝑥 3 − 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 𝑥 2 + 𝑥 1 𝑥 2 + 𝑥 1 𝑥 3 + 𝑥 2 𝑥 3 𝑥− 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3
3)Получается, что сумма корней, но с минусом − 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 𝑥 2 , это и есть коэффициент перед 𝑥 2 , то есть b.
Сумма произведений корней 𝑥 1 𝑥 2 + 𝑥 1 𝑥 3 + 𝑥 2 𝑥 3 𝑥, это коэффициент перед х, то есть с.
Произведение всех корней с минусом − 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 , это d.

Итог:

Заключение:

В исследовательской работе было изучено применение теоремы Виета в уравнениях n-степени. Были выведены и обобщены формулы для теоремы Виета в уравнениях 3 и 4 степени .Эффект от реализации проекта является социальным, так как были расширены знания школьников о применении теоремы Виета не только в квадратных уравнениях.