Презентация - "Презентация по геометрии "Признаки параллельности прямых""

Признаки параллельности прямых
Учитель математики
МБОУ «Лицей «Политэк»
г. Волгодонска
Колмогорцева И.В.

Две прямые либо…
имеют одну общую точку, то есть пересекаются
не имеют ни одной общей точки, то есть не пересекаются
A
C
B
D
M
A
B
C
D

Определение
Две прямые на плоскости называются параллельными,
если они не пересекаются.
Параллельность прямых a и b обозначается так: aIIb

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках. При пересечении прямых a и b секущей c образуется восемь углов. Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:
накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6
односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6
соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7
с
b
a
1
2
4
3
5
6
8
7

Теорема
Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство
Пусть при пересечении прямых a и b секущей AB накрест лежащие углы равны: ∠1 = ∠2
Докажем, что aIIb. Если углы 1 и 2 прямые, то прямые a и b перпендикулярны к прямой AB и, следовательно, параллельны.
Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые.
Из середины O отрезка AB проведём перпендикуляр OH к прямой a. На прямой b от точки B отложим отрезок BM, равный отрезку AH, как показано на рисунке 3, и проведём отрезок OM. Треугольники OHA и OMB равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому ∠3 = ∠4 и ∠5 = ∠6. Из равенства ∠3 = ∠4 следует, что точка M лежит на продолжении луча OH, то есть точки H, O и M лежат на одной прямой, а из равенства ∠5 = ∠6 следует, что угол 6 – прямой (так как угол 5 – прямой). Итак, прямые a и b перпендикулярны к прямой HM, поэтому они параллельны. Теорема доказана.

a
b
B
A
1
2
a
a
b
b
A
B
1
2
H
M
A
B
5
1
3
4
6
2
O

Теорема
Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство
Пусть при пересечении прямых a и b секущей c соответственные углы равны: ∠1 = ∠2
Так как углы 2 и 3 – вертикальные, то ∠2 = ∠3. Из этих равенств следует, что ∠1 = ∠3 . Углы 1 и 3 – накрест лежащие , поэтому прямые a и b параллельны. Теорема доказана.
b
a
c
2
3
4
1

Теорема
Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Доказательство
Пусть при пересечении прямых a и b секущей c сумма односторонних углов равна 180°, например ∠1 + ∠4 = 180°.
Так как углы 3 и 4 – смежные, то ∠3 + ∠4 = 180°. Из этих равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые a и b параллельны. Теорема доказана.
b
a
c
2
3
4
1

Задача 1
Дано:
c – секущая a и b
∠1 = ∠2
Доказать:
aIIb



Доказательство:
a
b
c
1
2

Задача 2
Дано:
c – секущая a и b
∠1 = 65°
∠2 = 115°
Доказать:
aIIb



Доказательство:
a
b
c
1
2

Спасибо за внимание!