Презентация - "Презентация по геометрии на тему "Теорема Пифагора" (8 класс)"

Теорема
Пифагора

Дайте определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника.
Чему равен cos A на рисунке 1?
Чему равен cos В на рисунке 2?
Чему равны косинусы острых углов Δ CDE на рисунке 3?
Рис. 1 – 3

Рис. 1 – 3


 От в е т:
1) cos A = 2 / 7;
2) cos В = 15 / 17;
3) cos C = 5 / 13, cos D = 12 / 13

Пифагор
(греч. Πυθαγόρας ο Σάμιος)
(родился ок. 580 г. и умер ок. 500 г. до н.э.)

Родился на острове Самос около 580 г. до н.э. Его отцом был некий Мнесарх из Самоса, человек благородного происхождения и образования. Спасаясь от тирании Поликрата, Пифагор ок. 530 до н.э. покинул Самос.
Историю его жизни трудно отделить от легенд, представляющих Пифагора в качестве полубога и чудотворца, совершенного мудреца и "великого посвященного" во все тайные доктрины греков и варваров. По преданию, Пифагор объездил весь свет и собрал свою философию из различных систем, к которым имел доступ. Так, он изучал эзотерические науки у брахманов Индии, астрономию и астрологию в Халдее и Египте. В Индии он и по сей день известен под Именем Яваначарья ("Ионийский учитель"). По возвращении он поселился в Кротоне, в Южной Италии, где проповедовал свое учение многочисленным последователям, часть которых образовала своего рода религиозный орден, или братство "посвящённых". Этот орден фактически пришел в Кротоне к власти, однако из-за антипифагорейских настроений в конце 6 в. до н.э. Пифагору пришлось удалиться в Метапонт, где он и умер в 500 году до н.э.
Пифагор стоял у истока греческой науки, был вынужден заниматься всем сразу: арифметикой и геометрией, астрономией и музыкой. Его целью было разобраться в строении Вселенной и человеческого общества (от движения звезд до политической борьбы).
Он первый заметил, что сила и единство науки основаны на работе с ИДЕАЛЬНЫМИ ОБЪЕКТАМИ. Например, прямая линия - это не тетива натянутого лука и не луч света: ведь они имеют небольшую толщину, а линия толщины не имеет. Несовершенные природные тела являются лишь грубоватым подобием идеальных математических сущностей
Первая научная модель мира, предложенная Пифагором - все природные тела и процессы суть искаженные подобия идеальных тел и движений - а закономерности идеальных объектов выражаются с помощью чисел.

Из рассказа вы узнали, что союз пифагорейцев был тайным. Эмблемой или опознавательным знаком союза являлась пентаграмма (рис. 4) – пятиконечная звезда. Пентаграмме присваивалась способность защищать человека от злых духов.

У немецкого поэта Гёте в трагедии "Фауст", которую вы будете изучать на уроках литературы, описывается случай, когда дьявол Мефистофель проник в жилище учёного Фауста, потому что пентаграмма на его доме была плохо начерчена, и промежуток в уголке остался. Зачитаю вам эпизод.

Рис. 4

Этот пятиугольник обладает интересным геометрическим свойством: поворотной симметрией пятого порядка, т.е. имеет пять осей симметрии, которые совмещаются при каждом повороте на 72º. Именно это тип симметрии наиболее распространён в живой природе у цветков незабудки, гвоздики, колокольчика, шиповника, лапчатки гусиной, вишни (рис. 5), груши, яблони, малины, рябины и т.д. Поворотная симметрия пятого порядка встречается и в животном мире, например, у морской звезды (рис. 6) и панциря морского ежа.

Рис. 5, 6

Теорема Пифагора
Рис. 7

Предполагают, что во времена Пифагора теорема звучала по-другому: "Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах". Действительно, с2 – площадь квадрата, построенного на гипотенузе, а2 и b2 – площади квадратов, построенных на катетах (рис. 8).

Рис. 8

Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сначала установлен для равнобедренных прямоугольных треугольников. Квадрат, построенный на гипотенузе, содержит четыре треугольника. А на каждом катете построен квадрат, содержащий два треугольника. Из рисунка 9 видно, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Рис. 9

Смотрите, а вот и "Пифагоровы штаны во все стороны равны" (рис.10):

Рис. 10

Такие стишки придумывали учащиеся средних веков при изучении теоремы; рисовали шаржи. Вот, например, такие (рис. 11, рис. 12):

Рис. 11, 12

Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора. По-видимому, он первым нашёл её доказательство. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он "запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы". В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: "… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста".
На протяжении последующих веков были найдены другие доказательства теоремы Пифагора.
В настоящее время их насчитывается более ста.
Большинство способов её доказательства сводятся к разбиению квадратов на более мелкие части.

Рис. 13
Т е о р е м а. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Начертите треугольник АВС с прямым углом С (рис. 13).

Д а н о: Δ АВС, ∠ С = 90°.
Д о к а з а т ь: АВ2 = АС2 + ВС2.
Д о к а з а т е л ь с т в о:
Проведём высоту CD из вершины прямого угла С.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе, поэтому
в Δ ACD   cos A = AD / AC,

а в Δ АВС   cos А = AC / AB.
Так как равны левые части этих равенств, то равны и правые, следовательно,
AD / AC = AC / AB.
Отсюда, по свойству пропорции, получаем:
АС2 = AD · АВ.
(1)
Аналогично,
в Δ ВCD   cos В = BD / BC,
а в Δ АВС   cos В = BC / AB.
Так как равны левые части этих равенств, то равны и правые, следовательно,
BD / BC = BC / AB.
Отсюда, по свойству пропорции, получаем:
ВС2 = ВD · АВ.
(2)
Сложим почленно равенства (1) и (2), и вынесем общий множитель за скобки:
АС2 + ВС2 = AD · AB + BD · AB = AB · (AD + BD).
Так как
AD + BD = АВ,
то
АС2 + ВС2 = AB · AB = AB2.
Получили, что
АВ2 = АС2 + ВС2.
Ч. т. д.
Итак,
Ч. т. д.

Приближается зачёт по геометрии, а на зачётах и экзаменах иногда бывают случаи, когда ученики, вытянув билет, помнят формулировку теоремы, но забывают с чего начать доказательство. Чтобы этого не произошло с вами, предлагаю рисунок – опорный сигнал (рис. 14) и, думаю, он надолго останется в вашей памяти.
Рис. 14
Отрубил Иван-царевич дракону голову, а у него две новые выросли.
На математическом языке это означает: провели в Δ АВС высоту CD, и образовалось два новых прямоугольных треугольника ADC и BDC.
Вспомнив этот рисунок, вы вспомните дополнительное построение и начало доказательства теоремы.

Особенностью теоремы Пифагора является то, что она неочевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно увидеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что его стороны находятся в соотношении
с2 = а2 + b2.

З а д а ч а №1

Р е ш е н и е
Δ АВС – прямоугольный с гипотенузой АВ,
по теореме Пифагора: АВ2 = АС2 + ВС2,
АВ2 = 82 + 62,
АВ2 = 64 + 36,
АВ2 = 100,
АВ = 10.
О т в е т: АВ = 10
З а м е ч а н и е. Из курса алгебры известно, что уравнение АВ2 = 100 имеет два корня: АВ = ± 10. АВ = – 10 не удовлетворяет условию задачи, так как длина стороны треугольника всегда положительна. Значит, АВ = 10.
Давайте договоримся, что в дальнейшем, при решении уравнений в подобных задачах, будем ограничиваться только положительными корнями, и каждый раз не будем пояснять, почему отрицательные корни отбрасываются.
Рис. 15

З а д а ч а №2

Рис. 16
Р е ш е н и е
Δ DCE – прямоугольный с гипотенузой DE (рис. 16),
по теореме Пифагора: DE2 = DС2 + CE2,
DC2 = DE2 – CE2,
DC2 = 52 – 32,
DC2 = 25 – 9,
DC2 = 16,
DC = 4.
О т в е т: DC = 4
Получили прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 ед. Это единственный прямоугольный треугольник, стороны которого равны трём последовательным натуральным числам. Его часто называют египетским треугольником, так как он был известен ещё древним египтянам. Они использовали этот треугольник в "правиле верёвки" для построения прямых углов при закладке зданий, храмов, алтарей…

З а д а ч а №3

Р е ш е н и е
Δ KLM вписан в окружность и опирается на диаметр KM (рис. 17). Так как вписанные углы, опирающиеся на диаметр, – прямые, то угол KLM – прямой. Значит, Δ KLM – прямоугольный. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника KLM с гипотенузой КМ:
KM2 = KL2 + KM2,
KM2 = 52 + 122,
KM2 = 169,
KM = 13.
О т в е т: KM = 13

Рис. 17

Рис. 18
Δ АВС, BD – высота,
АВ = 20 см, AD = 16 см, DC = 9 см.
А теперь письменно решим следующую задачу.
З а д а ч а №4
Высота, опущенная из вершины В Δ АВС, делит сторону АС на отрезки, равные 16 см и 9 см.
Найдите сторону ВС, если сторона АВ равна 20 см (рис. 18).

Д а н о:

Н а й т и: ВС.
Р е ш е н и е:

1) По условию задачи BD – высота, значит, Δ ABD и Δ CBD – прямоугольные.
2) По теореме Пифагора для Δ ABD: АВ2 = AD2 + BD2, отсюда
BD2 = AB2 – AD2,
BD2 = 202 – 162,
BD2 = 400 – 256,
BD2 = 144,
BD = 12.
3) По теореме Пифагора для Δ СBD: ВС2 = ВD2 + DС2, отсюда
BC2 = 122 + 92,
BC2 = 144 + 81,
BC2 = 225,
BC = 15.
О т в е т: сторона BC равна 15 см.
З а м е ч а н и е. На втором этапе решения достаточно было найти BD2 и подставить его значение в равенство ВС2 = ВD2 + DС2.

О  теореме  Пифагора
(Отрывок из стихотворения А. Шамиссо)