Презентация - "Методы решения задания 14"

Задание 14
Методы решения стереометрических задач

Угол между прямыми
Для поиска угла между прямыми необходимо ввести некоторую систему координат и в ней определить координаты четырех точек, по паре на каждую прямую (через две точки можно провести прямую и притом только одну).
Пусть, например, у нас есть две прямые AB и CD. Находим координаты двух векторов 𝑎 𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 = 𝐴𝐵 и 𝑏 𝑥 2 , 𝑦 2 , 𝑧 2 = 𝐶𝐷 .
Далее, для поиска косинуса угла α угла между этими векторами применим формулу, которая следует из определения произведения: cos α= 𝑎 ∙ 𝑏 𝑎 ∙ 𝑏 .
В координатах она выглядит так: cos α=. 𝑥 1 ∙ 𝑥 2 + 𝑦 1 ∙ 𝑦 2 + 𝑧 1 ∙ 𝑧 2 𝑥 1 2 + 𝑦 1 2 + 𝑧 1 2 ∙ 𝑥 2 2 + 𝑦 2 2 + 𝑧 2 2

Параграф 1. Угол между прямыми
Следует обратить внимание , что по последней формуле мы найдем угол между векторами, а не угол между прямыми. Поэтому найденный косинус может оказаться отрицательным. Это значит, что угол между этими векторами тупой. Но по определению угол не может быть тупой.
Чтобы избежать этой ошибки и найти именно угол между прямыми, нужно поставить знак модуля в числителе. Тогда найденный косинус будет всегда неотрицательным, соответственно угол α будет угол между прямыми:
cos α= 𝑥 1 ∙ 𝑥 2 + 𝑦 1 ∙ 𝑦 2 + 𝑧 1 ∙ 𝑧 2 𝑥 1 2 + 𝑦 1 2 + 𝑧 1 2 ∙ 𝑥 2 2 + 𝑦 2 2 + 𝑧 2 2

Параграф 2. Угол между прямой и плоскостью
Угол α между некоторой прямой 𝐴𝐵 и плоскостью 𝛾 – это угол между прямой 𝐴𝐵 и её проекцией 𝐴 ′ 𝐵 ′ на эту плоскость.
Из рисунка видно, этот угол является дополнительным к углу 𝜋 2 −𝛼 между прямой AB и любой прямой, перпендикулярной к плоскости 𝛾.
Таким образом, угол α мы можем найти угол между прямой AB и этой прямой, направляющий вектор которой обозначен как 𝑛 (такая прямая называется нормалью к плоскости, а ее направляющий вектор – вектором нормали.
A
B

Угол между прямой и плоскостью
направляющий вектор прямой
вектор нормали к плоскости

𝑠𝑖𝑛 α=. 𝑥 1 ∙ 𝑥 2 + 𝑦 1 ∙ 𝑦 2 + 𝑧 1 ∙ 𝑧 2 𝑥 1 2 + 𝑦 1 2 + 𝑧 1 2 ∙ 𝑥 2 2 + 𝑦 2 2 + 𝑧 2 2
где 𝑎 𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 и 𝑛 𝑥 2 , 𝑦 2 , 𝑧 2

Угол между прямой и плоскостью
Определяем координаты вектора нормали
𝑛 (𝑥,𝑦,𝑧)
A
B
C
𝐴𝐵 = 𝑎 𝑎 1 , 𝑎 1 , 𝑎 1 и 𝐵𝐶 = 𝑏 𝑏 2 , 𝑏 2 , 𝑏 2
Так как исходный вектор нормали перпендикулярен обоим векторам 𝑎 и 𝑏 , соответствующие скалярные произведения будут равны нулю, и мы получаем систему уравнений:
𝑎 ∙ 𝑛 =0 𝑏 ∙ 𝑛 =0
𝑎 1 𝑥+ 𝑎 2 𝑦+ 𝑎 3 𝑧=0 𝑏 1 𝑥+ 𝑏 2 𝑦+ 𝑏 3 𝑧=0
Наша система имеет бесконечное множество решений. Наша задача – найти любое ненулевое решение. Для этого любую из переменных мы объявляем числовым параметром t. Тогда система превращается в систему двух уравнений с двумя неизвестными, которую решаем в общем виде. Затем, придавая параметру t какое-нибудь конкретное значение, получаем координаты вектора 𝑛 .

Параграф 3. Угол между плоскостями
Угол между плоскостями – это угол перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях.
Из рисунка видно, что угол между плоскостями между перпендикулярами к ним, направляющие вектора которых обозначим 𝑛 1 ( 𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ) и 𝑛 2 ( 𝑥 2 , 𝑦 2 , 𝑧 2 ).
Угол между перпендикулярами можно определить из скалярного произведения векторов 𝑛 1 и 𝑛 2 .
cos α= 𝑛 1 ∙ 𝑛 2 𝑛 1 ∙ 𝑛 2 .
cos α= 𝑥 1 ∙ 𝑥 2 + 𝑦 1 ∙ 𝑦 2 + 𝑧 1 ∙ 𝑧 2 𝑥 1 2 + 𝑦 1 2 + 𝑧 1 2 ∙ 𝑥 2 2 + 𝑦 2 2 + 𝑧 2 2
Координаты векторов находим аналогично предыдущей задаче.

Параграф 4. Расстояние от точки до прямой
A
B
C
H
Пусть требуется определить расстояние от точки С до прямой АВ.
Используя метод координат, можно определить следующий алгоритм:
Введем систему координат и определим в ней координаты векторов 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶
Определяем косинус угла α по формуле cos α = 𝐴𝐵 ∙ 𝐶𝐷 𝐴𝐵 ∙ 𝐶𝐷 , где угол α – это угол между прямыми AB и CD.
Определяем искомое расстояние по формуле: 𝐶𝐻=𝐴𝐶𝑠𝑖𝑛α=AC 1− 𝑐𝑜𝑠 2 α , причем величина 𝐴𝐶= 𝐴𝐶 уже была найдена при вычислениях пункта 2.
α

Параграф 5. Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки 𝑀 0 ( 𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑧 0 ) до плоскости, заданной уравнением 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑=0, определяется по известной формуле:
𝜌= 𝑎 𝑥 0 +𝑏 𝑦 0 +𝑐 𝑧 0 +𝑑 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2
Как найти уравнение плоскости? Плоскость однозначно задается тремя точками. Геометрический смысл коэффициентов 𝑎, 𝑏, 𝑐 в каноническом уравнении плоскости – это вектор 𝑛 𝑎, 𝑏, 𝑐 , то есть вектор нормали плоскости 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑=0.
Поэтому сначала описанным в параграфе 2 способом находим вектор нормали, а затем определяем оставшийся параметр d, подставляя в уравнение плоскости координаты любой точки, лежащей на плоскости

Параграф 6. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми
Пусть имеются две скрещивающиеся прямые AB и CD. Необходимо найти расстояние между ними. Как известно существуют две параллельные плоскости, содержащие эти прямые.
A
B
C
D
H
𝑛
Вектор 𝑛 - это произвольный вектор, который перпендикулярен к обоим этим плоскостям. Искомое расстояние между прямыми AB и CD равно расстоянию AH и представляет собой длину проекции вектора AC на вектор 𝑛 .

Параграф 6. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми
Из этих соображений вытекает следующий алгоритм:
A
B
C
D
H
𝑛
Вводим систему координат и определяем в ней координаты векторов 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 .
Находим координаты какого-нибудь вектора 𝑛 𝑥, 𝑦, 𝑧 , перпендикулярного обоим векторам 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 .
𝐴𝐵 ∙ 𝑛 =0 𝐶𝐷 ∙ 𝑛 =0
Находим координаты какого-нибудь вектора, начало которого лежит на одной плоскости, а конец – на другой. Пусть это будет вектор 𝑎 = 𝐴С . Найти проекцию вектора 𝑎 на вектор 𝑛 можно из определения скалярного произведения.

Параграф 6. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми
Скалярное произведение векторов 𝑎 и 𝑛 :
A
B
C
D
H
𝑛
𝑎 ∙ 𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑛 cos 𝛼= 𝑛 Пр 𝑛 𝑎
где Пр 𝑛 𝑎 искомая проекция. Отсюда расстояние можно вычислить по формуле:
Модуль поставлен для того, чтобы найти именно длину проекции, то есть чтобы выполнилось очевидное условие 𝜌≥0.
𝜌= Пр 𝑛 𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑛 𝑎 ∙ 𝑛

Параграф 7. Площадь треугольника
Пусть требуется определить площадь ∆𝐴𝐵𝐶. Используя метод координат, можно предложить следующий алгоритм:
Введем систему координат и определим в ней координаты векторов 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶
Определяется cos𝛼= 𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝐶 𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝐶 , где α – угол между векторами 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶
A
B
C
α
Определяем синус угла по формуле: sin 𝛼= 1− 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼
Определяем искомую площадь по формуле: 𝑆 𝐴𝐵𝐶 = 1 2 ∙𝐴𝐵∙𝐴𝐶∙ sin 𝛼 , причем длины отрезков AB и AC уже были найдены при вычислении пункта 2.

Параграф 8. Площадь четырехугольника
Пусть требуется определить площадь произвольного выпуклого четырехугольника ABCD. Используя метод координат, можно предложить следующий алгоритм:
Введем систему координат и определим в ней координаты векторов 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷
Определяется cos𝛼= 𝐴𝐶 ∙ 𝐵𝐷 𝐴𝐶 ∙ 𝐵𝐷 , где α – угол между векторами 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷
Определяем синус угла по формуле: sin 𝛼= 1− 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼
Определяем искомую площадь по формуле: 𝑆 𝐴𝐵𝐶 = 1 2 ∙𝐴𝐶∙𝐵𝐷∙ sin 𝛼 , причем длины отрезков AC и BD уже были найдены при вычислении пункта 2.
A
B
C
α
D

Список литературы
Панферов В.С., Сергеев И.Н. Отличник ЕГЭ. Математика. Решение сложных задач.
Лысенко Ф. Ф., Кулабухова С. Ю. Математика. Подготовка к ЕГЭ 2021. Профильный уровень.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций. – М.: Просвещение, 2020.