Презентация - "Презентация на тему: "Логарифмическая функция, её свойства и график""

Логарифмическая функция, её свойства и график

***Дополнительное задание:
остроумная алгебраическая головоломка,
которой развлекались участники
одного съезда физиков в Одессе. Некоторым
учащимся на дом предлагалось творческое
задание: число 3, целое и положительное,
изобразить с помощью трех двоек и
математических символов. 

         
То есть любое целое положительное число можно изобразить с помощью трех двоек и математических символов.

Устная работа
Вычисли
log981=
log416=
log0.25=
log91=
log99=
log 0.30.0081=
log981=

Определение.
Логарифмом положительно числа b по положительному и отличному от 1 основанию а называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

Теорема об обратных функциях

Если функция f(x) определена и
монотонна на некотором промежутке X,
причем D(f)=X,
E(f)=Y, то
существует обратнаяей функция g(x), определенная на Y, т.е. D(g)=Y
E(g)=X,
причем, монотонность сохраняется. Графики взаимнообратных функций симметричны относительно прямой y=x

y
x
1
Построим график функции y=2x
Опр1.
Логарифмическая функция - функция, обратная показательной функции.

y
x
1
Построим график функции y=(0.5)x

Опр.2
Функция вида   y = loga х
(где а > 0, а ≠ 1)   называется логарифмической.
1) D(y):(0;+∞)
Это следует из определения логарифма, так как выражение logax имеет смысл только при x > 0.
Устная работа
Найти D(y), если известно, что а > 0, а ≠ 1
а) y = loga х +1
б) y = loga (х+1)
в) y = loga (1-x)

Построим график функции
y=log2x y=log0.5x
y
x
1
4
8
2
3
y=log2x
x
1
4
8
- 2
-3
y=log0.5x

Свойства функции









Свойства функции y=loga x, при a>1
1) D(F):(0;+∞)
2) не является ни четной, ни нечетной
3) возрастает на своей области определения
4) не ограничена ни сверху, ни снизу
5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений
6) непрерывна
7) E(F):(- ∞;+ ∞)
8) выпукла вверх







Свойства функции y=loga x, при 0<a<1
1) D(F):(0;+∞)
2) не является ни четной, ни нечетной
3) убывает на своей области определения
4) не ограничена ни сверху, ни снизу
5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений
6) непрерывна
7) E(F):(- ∞;+ ∞)
8) выпукла вниз



y
x
x
y
y=logax a>1
y=logax 0<a<1
Устно
Выполняем задание 15.12

Логарифмическая комедия
математический софизм
«2>3»

Работа в группах
№1Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке y=lgx x€ [1;1000]
№2 Решите уравнение и неравенства
а) lоg4x=0; б) lоg4x>0 в) lоg4x<0
№3 Решите уравнение lоg4x=5-x
№4 Постройте графики функций а)y=logxx
б) y=2log2x в) y=xlogx2




подсказка
подсказка
подсказка
подсказка
подсказка
подсказка

Найти наименьшее и набольшее значении функции на заданном промежутке
y=lgx x€ [1;1000]
Решение: функция y=lgx непрерывная и возрастающая.
Следовательно своего наименьшего и наибольшего значения достигает на концах отрезка
yнаим=lg1=0
yнаиб=lg1000=3

y
x

Решить уравнения и неравенства
а) lоg4x=0; б) lоg4x>0 в) lоg4x<0
Решаем графически.
В одной системе координат строим график функции y= lоg4x и y=0

y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
1
у = log4x
y=0
lоg4x=0
Ответ:1
lоg4x>0
Ответ : x>1
lоg4x<0
Ответ : 0<x<1

Решить уравнение
lоg4x=5-x
x
y
1
4
Построим график функции
y= lоg4x
и график y =5-x

Функция y= lоg4x возрастает,
а y= 5-x убывает. То есть точка единственная.
Проверка lоg44= 5-4


Ответ: x=4

Построить графики функции
функции
y=logxx
D(y)=(0;1) (1;+∞)
учитывая, что logaa=1, строим график y=1

x
y
1

Построить графики функции
функции
y=2log2x
D(y)= (0;+∞)
учитывая, что alogac=c, строим график y=x

x
y
1

Построить графики функции
функции
y=xlogx2
D(y)=(0;1) (1;+∞)
учитывая, что alogac=c , строим график y=2



y=2
2

x
y
1

Применение логарифмов в физике, химии, биологии

Физики шутят: “ Математика – царица всех наук, но служанка физики”. Так пошутить могут и музыканты, и биологи, и психологи и др. А это еще раз подтверждает правильность слов Карла Маркса “ Наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается пользоваться математикой”.

Преобразование графиков функции
x
y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
y=log2x+2
D(y):(0;+∞)
E(y):(- ∞;+ ∞)

Преобразование графиков функции
x
y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
y=log2(x+2)
D(y):(-2;+∞)
E(y):(- ∞;+ ∞)

Преобразование графиков функции
x
y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
y=log0.5(x+3)
D(y):(-3;+∞)
E(y):(- ∞;+ ∞)

y=-log0.5(x+3)
D(y):(-3;+∞)
E(y):(- ∞;+ ∞)

Известно завещание знаменитого американского государственного деятеля Бенджамина Франклина. Вот отрывок из него: «Препоручаю 1000 фунтов стерлингов бостонским жителям. Если они примут эту тысячу фунтов, то должны поручить ее отборнейшим гражданам, а они будут давать их с процентами, по 5 на сто в год, в заем молодым ремесленникам. Сумма эта через сто лет возвысится до 131000 фунтов стерлингов. Я желаю тогда 100000 фунтов были употреблены на постройку общественных зданий, остальные же 31000 фунтов отданы в проценты на 100 лет…». Оставляя всего 1000 фунтов, Франклин распределяет миллионы. Математический расчет это подтверждает

Вычисления с помощью логарифма
29.01.2023
26