Презентация - "Презентация по математике на тему "Дифференциал функции""
- Презентации / Другие презентации
- 0
- 03.11.26
Просмотреть и скачать презентацию на тему "Презентация по математике на тему "Дифференциал функции""
Сайт klass-uchebnik.com предлагает качественные учебные материалы для школьников, родителей и учителей. Здесь можно бесплатно читать и скачивать современные учебники, рабочие тетради, а также наглядные презентации по всем предметам школьной программы. Материалы распределены по классам и темам, что делает поиск максимально удобным. Каждое пособие отличается логичной структурой, доступной подачей материала и соответствует действующим образовательным стандартам. Благодаря простому языку, наглядным схемам и практическим заданиям, обучение становится легче и эффективнее. Учебники подойдут как для ежедневной подготовки к урокам, так и для систематического повторения перед экзаменами.
Особое внимание стоит уделить разделу с презентациями - они становятся отличным визуальным дополнением к теории, помогают лучше понять сложные темы и удерживают внимание учащихся. Такие материалы удобно использовать в классе на интерактивной доске или при самостоятельной подготовке дома. Все размещённые на платформе материалы проверены на актуальность и соответствие учебной программе. Это делает сайт надёжным помощником в образовательном процессе для всех участников: школьников, учителей и родителей. Особенно удобно, что всё доступно онлайн без регистрации и в свободном доступе.
Если вы ищете надежный источник для подготовки к урокам, контрольным и экзаменам - klass-uchebnik.com станет отличным выбором. Здесь вы найдёте всё необходимое, включая "Презентация по математике на тему "Дифференциал функции"", чтобы сделать обучение более организованным, интересным и результативным.
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
Ранее мы рассматривали задачи на использование физического смысла первой и второй производной и задачи на использование геометрического смысла первой производной. Смотрите презентацию «Производная и ее приложение»
Продолжим рассмотрение приложений производной (смотрите блок-схему на 2 слайде). Сегодня мы рассмотрим третье направление приложений производной, задачи, используемые понятие дифференциала функции. Понятие дифференциала функции является основой разнообразных физических задач:
а) на работу;
б) заряд;
в) массу тонкого стержня;
г) теплоту.
С помощью дифференциала можно получить формулы приближенных вычислений, значительно упрощающих вычисления, и дающих небольшую ошибку при оценке результата. Дифференциал применяется при выполнении лабораторных работ по средствам измерений, теоретическим основам электротехники и другим дисциплинам.
Дифференциалы нужны нам при изучении темы «Интеграл и его приложения»
ЗАДАЧИ НА ПРИЛОЖЕНИЕ
ПРОИЗВОДНОЙ
ЗАДАЧИ НА
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
ФИЗИЧЕСКОГО
СМЫСЛА ПЕРВОЙ И
ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
ЗАДАЧИ НА ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ
ЗАДАЧИ НА ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО СМЫСЛА ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
ЗАДАЧИ НА
ИССЛЕДОВАНИЕ
ФУНКЦИИ
ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ УРАВНЕНИЙ НОРМАЛИ И КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
Дифференциалом функции называется произведение производной функции на произвольное приращение аргумента. Пусть дана функция 𝑦=𝑓 𝑥 Её дифференциал обозначают через 𝑑𝑦. По определению 𝑑𝑦= 𝑓 ′ 𝑥 ∆𝑥. Рассмотрим функцию 𝑦=𝑥. Её производная равна 𝑥 ′ =1. Тогда дифференциал этой функции будет равен 𝑑𝑦=∆𝑥. Поэтому обычно записывают дифференциал функции в виде 𝒅𝒚= 𝒇 ′ 𝒙 𝒅𝒙, 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 это одно из обозначений производной.
Формулы дифференцирования некоторых функций:
𝑑𝑥= 𝑥 ′ 𝑑𝑥, 𝑑 𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑛 ′ 𝑑𝑥, 𝑑 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 ′ 𝑑𝑥,
𝑑 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 ′ 𝑑𝑥, 𝑑 𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑥 ′ 𝑑𝑥, 𝑑 𝑒 𝑥 = 𝑒 𝑥 ′ 𝑑𝑥
Геометрический смысл дифференциала.
Рассмотрим дифференцируемую функцию 𝑦=𝑓 𝑥 на интервале 𝑎;𝑏 . Рассмотрим ∆𝐾𝑀𝑁
𝑀𝑁 = 𝐾𝑁 𝑡𝑔𝛼, 𝐾𝑁 =∆𝑥, 𝑡𝑔𝛼= 𝑓 ′ 𝑥 0 , 𝑁𝑀 = 𝑓 ′ 𝑥 0 ∆𝑥 𝑁𝑀 =𝑑𝑦.
Геометрический смысл – если функция имеет производную в точке 𝑥 0 , то дифференциал функции равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке ( 𝑥 0 ) при переходе от точки касания в точку с абсциссой 𝑥 0 +∆𝑥. Сравним приращение функции и дифференциал. Чем меньше ∆𝑥, тем ближе 𝑑𝑦 к ∆𝑦. При очень малых значениях ∆𝑥 𝑑𝑦= ∆𝑦.
Правила нахождения дифференциала функции
Дифференциал суммы:
𝑑 𝑢+𝑣−𝑤 𝑑𝑥 = 𝑢 ′ + 𝑣 ′ − 𝑤 ′ 𝑑𝑥= 𝑑𝑢 𝑑𝑥 + 𝑑𝑣 𝑑𝑥 − 𝑑𝑤 𝑑𝑥
2) Дифференциал произведения:
𝑑 𝑢∙𝑣 𝑑𝑥 = 𝑢 ′ 𝑑𝑥∙𝑣+𝑢∙ 𝑣 ′ 𝑑𝑥= 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑣+ 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑢
3) Дифференциал частного:
𝑑 𝑢 𝑣 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 𝑑𝑥 ∙𝑣−𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑣 2
ПРИМЕРЫ НАХОЖДЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ
Найти дифференциалы первого порядка следующих функций:
y= x 3 −2 4 .
Решение: Воспользуемся формулой 𝑑𝑦= 𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥.
dy=( x 3 −2 4 ) ′ dx=4 𝑥 3 −2 3 ∙3 𝑥 2 𝑑𝑥=12 𝑥 2 𝑥 3 −2 3 𝑑𝑥
2) 𝑦= 𝑥 2 −1 .
Решение: Воспользуемся формулой 𝑑𝑦= 𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥.
𝑑𝑦= 𝑥 2 −1 ′ 𝑑𝑥= 2𝑥 2 𝑥 2 −1 𝑑𝑥= 𝑥𝑑𝑥 𝑥 2 −1
3) 𝑦=𝑙𝑛𝑠𝑖𝑛 𝑥 .
Решение: Воспользуемся формулой 𝑑𝑦= 𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥.
𝑑𝑦= 𝑙𝑛𝑠𝑖𝑛 𝑥 ′ = 1 𝑠𝑖𝑛 𝑥 ∙𝑐𝑜𝑠 𝑥 ∙ 1 2 𝑥 𝑑𝑥= 𝑐𝑡𝑔 𝑥 2 𝑥
ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ
Пусть дана функция 𝑦=𝑓 𝑥 ;приращение этой функции ∆𝑦=𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓 𝑥 , её дифференциал 𝑑𝑦= 𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥. При достаточно малых приращениях аргумента, будем считать, что ∆𝑦≈𝑑𝑥.
Заменив приращение функции её дифференциалом, получим
𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥≈𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓 𝑥 откуда
𝑓 𝑥+∆𝑥 ≈𝑓 𝑥 + 𝑓 ′ 𝑥 ∆𝑥.
Применяя эту формулу, легко получить различные формулы для нахождения приближенных числовых значений.
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
1) Формула для приближенного вычисления степеней:
𝑥+∆𝑥 𝑛 ≈ 𝑥 𝑛 +𝑛 𝑥 𝑛−1 ∆𝑥
2) Формула для приближенного вычисления корней:
𝑛 𝑥+∆𝑥 ≈ 𝑛 𝑥 + ∆𝑥 𝑛 𝑛 𝑥 𝑛−1
3) Формула для приближенного вычисления обратных величин:
1 𝑥+∆𝑥 ≈ 1 𝑥 − ∆𝑥 𝑥 2
4) Формулы для приближенного вычисления синусов и тангенсов малых углов:
𝑠𝑖𝑛∆𝑥≈∆𝑥; 𝑡𝑔∆𝑥≈∆𝑥
ПРИМЕРЫ НАХОЖДЕНИЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Найти приближенное значение степени:
4,012 2 ≈ 4+0,012 2 ≈ 4 2 +2∙4∙0,012=16+0,096=16,096.
2) Найти приближенное значение корня:
1,006 ≈ 1+0,006 ≈ 1 + 0,006 2∙ 1 ≈1+0,003≈1,003
3) Найти приближенное значение обратной величины:
1 1,004 ≈ 1 1+0,004 ≈ 1 1 − 0,004 1 2 ≈1−0,004≈0,996
4) Вычислить: 𝑠𝑖𝑛 12 0 =𝑠𝑖𝑛 12𝜋 180 =𝑠𝑖𝑛 𝜋 15 =𝑠𝑖𝑛 3.14 15 =𝑠𝑖𝑛0,2091≈0,2091
ОБОБЩЕНИЕ И СИСТЕМАТИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ
Ответить на вопросы:
1. Что можно вычислить с помощью дифференциала?
2. Чем отличается дифференциал функции от её производной?
3. Выполняются ли правила отыскания производных для дифференциалов?
Каков геометрический смысл дифференциала функции?
5. По какой формуле можно вычислить приближенное значение функции?
