Презентация - "Презентация по математике: "Подготовка к ЕГЭ. Функции""

Действия с функциями в задании №9 ЕГЭ (профильный уровень)

Изменения
Профильная математика
1) Убрали задания 1 и 2, проверяющие умение использовать приобретенные знания и умения в практической и повседневной жизни.
2) Убрали задание 3, проверяющее умение выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами.
3) Добавили задание 9, проверяющее умение выполнять действия с функциями.
4) Добавили задание 10, проверяющее умение моделировать ситуации на языке теории вероятностей и статистики, вычислять в простейших случаях вероятности событий.
5) В задания повышенного уровня 13, проверяющего умение выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами, максимальный балл стал равен 3.
6) В задании повышенного уровня 15, проверяющего умение использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни, максимальный балл стал равен 2.
7) Количество заданий уменьшилось: с 19 до 18.
8) Максимальный балл за выполнение всей работы теперь равен 31

Действия с функциями в задании №9
ЕГЭ (профильный уровень)

Виды заданий

Виды заданий

х
0
у
y = kx + m
(k > 0)
х
0
у
y = kx + m
(k < 0)
1) Коэффициент k определяется как тангенс угла, который образует прямая с положительным направлением оси Ох
2)Коэффициент m определяется как ордината точки пересечения прямой с осью Оу
Линейная функция y= kx + m
(теоретические сведения)

х
0
у
Линейная функция y= kx +m
(теоретические сведения)
Уравнение прямой можно написать по координатам двух точек, принадлежащих этой прямой: (2;2) (-3; -2), решив получившуюся при этом систему уравнений с двумя неизвестными k и m.
2k+m = 2, k=0,8 ; m=0,4
-3k+m = - 2

Ответ: Y= 0,8x +0,4

1
2
Решение
Уравнение прямой у=kx+b. Найдем k для первой прямой: k = 𝟑 𝟐 для второй прямой. , k= 𝟑 𝟑 =𝟏.
Первая прямая проходит через точку (-4;1)
Найдем b,подставив координаты этой точки в уравнение:1=1,5·(-4)+ b, b=7. у=1,5х+7-уравнение1 прямой.
3) Вторая прямая проходит через точку (-1;0),
Найдем b,подставив координаты точки в уравнение: 0=1·(-1)+ b, b=1. Тогда у = х+1-уравнение2 прямой.
4)Решим систему уравнений у=𝟏,𝟓𝒙+𝟕, 𝒚=𝒙+𝟏 Вычтем из 1 уравнения 2 уравнение , получим 0,5х+6= 0. Отсюда х = -12.Тогда у= -11. Ответ: -11



Задание1. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точек пересечения.

Решение.
Найдем a, d.
Сначала раскроем|bx + c|=0 в точке излома при х=1,
Если х<1,то f(x)=ax -bx - c +d=(а-b)х+ d-с, где (а-b)-угловой коэффициент, (d-с)-ордината точки пересечения прямой с осью Ох.
По графику а-b= -4; d-с =5.
Если х>1,то f(x)=ax +bx + c +d=(а+b)х+с+ d, где (а+b )- угловой коэффициент, по графику а+b=2.
Продолжив прямую до пересечения с осью Оу, получим , что с+ d = -1.

Решив эти системы а−b= −4 а+b=𝟐 и с+ d = −1 d−с = 5 , получим,что
a = -1; b=3; c = -3; d =2. Подставив найденные значения в уравнение ax +d=0 , получим: - x + 2=0, х=2.
Ответ:2


5
-1



Задание 2. На рисунке изображён график функции вида f(x)=ax + |bx + c| +d, где числа a, b, c и d — целые. Найдите корень уравнения ax + d=0.

Квадратичная функция y= aх²+bx + c
(теоретические сведения)

1) Квадратичную функцию можно представить

m, n – координаты вершины параболы

2) Коэффициент с в формуле: y= aх²+bx + c определяет
ординату точки пересечения графика функции с осью Оу

3) Абсцисса вершины параболы определяется по формуле:


4) Если а>0, ветви параболы направлены вверх.
Если а<0, ветви параболы направлены вниз.

Построить график функции

Параболы
f(x)= 𝒂(x-m)²+n,
f(x)= 𝒂 x²
Уравнение
квадратичной параболы
Уравнение
сдвинутой
параболы
– сдвиг по оси Ох
(сдвиг вспомогательной оси Y относительно основной)
сдвиг по оси Оу
(сдвиг вспомогательной оси Х относительно основной)
𝒎
𝒏

Решение.
f(x)= 𝒂(x-m)²+n, где m, n-координаты вершины параболы.
f(x)= а(x-(-4))²+(-3), f(x)= а(x+4)² - 3,
А(-3; -2) -2 = а (- 3+ 4)² - 3, отсюда а =1
m = - 4, n = - 3, 𝒂 =1.
f(x)= (x+4)² - 3
f(10)=(10+4)²-3,
f(10)=193.
Ответ: 193
Задание 3. На рисунке изображен график функции
f(x)= 𝒂 x²+bx+c, где числа a, b и c-целые.
Найдите значение f(10) (первый способ)

Решение.
Определим точки, принадлежащие графику данной функции: (-3; -2); (-2;1); (-4;-3)
Подставим координаты в формулу, получим систему:
9 а−3b+c= −2, 4a − 2b+c=𝟏, 16 a − b+c= − 3.
Решим систему, получим:
a=1, b=8, c=13
f(12)=193. Ответ: 193
Задание 3. На рисунке изображен график функции
f(x)= 𝒂 x²+bx+c, где числа a,b и c-целые.
Найдите значение f(10) (второй способ)

Гиперболы
𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥+𝒃 +𝒄
𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥
Уравнение
гиперболы
У
О
Х
Уравнение
сдвинутой
гиперболы
– сдвиг по оси Ох
(сдвиг вспомогательной оси Y относительно основной)
сдвиг по оси Оу
(сдвиг вспомогательной оси Х относительно основной)
𝒃
𝒄

Решение

1) b = - 3
2) c = 2


3) f(x) = 𝒂 𝒙+𝒃 +𝒄; f(x) = 𝒂 𝒙−𝟑 +𝟐;


𝒇 𝒙 = 𝟏 𝒙−𝟑 +𝟐


уравнение заданной гиперболы
-

𝒇 𝟏𝟑 = 𝟏 𝟏𝟑−𝟑 +𝟐=𝟎,𝟏+𝟐=𝟐,𝟏
Ответ: 2,1
1 = 𝒂 𝟐−𝟑 +𝟐; 𝒂=𝟏
x1





(2;1)
Задание 4. На рисунке изображён график функции вида f(x) = 𝐚 𝐱+𝐛 +𝐜, где числа a, b и c — целые. Найдите f(13)

Задание 5. Логарифмическая функция
1) Найдем b. График исходной функции смещен на 5 единиц влево, b= 5
2) Найдем a. Координаты точки (-3;1) подставим в формулу:


a = 2;

Ответ: f(11)= 4

Задание 6. Показательная функция
1) Найдем b. График исходной функции смещен на 3 единицы вниз, b= - 3
2) Найдем a. Координаты точки (2;1) подставим в формулу:


а=2,



Ответ: х = 5

График функции вида f(x)= 𝒂cos(bπx + c)+d,
где числа 𝒂 b, c и d-целые. ( Теория)
Коэффициент d показывает на сколько единиц и куда произошел параллельный перенос графика тригонометрической функции вдоль оси Оу.

Коэффициент с показывает на сколько единиц и куда произошел параллельный перенос графика тригонометрической функции вдоль оси Ох.

Коэффициент а показывает амплитуду колебания графика функции (на сколько поднимается волна синусоиды).

Коэффициент b получаем, используя период функции. (Период функции определяется длиной отрезка, соединяющего соседние волны синусоиды).

Решение.
По графику 𝒇 𝒎𝒂𝒙 =𝟏,𝒇 𝒎𝒊𝒏 =-3
d= 𝒇 𝒎𝒂𝒙 + 𝒇 𝒎𝒊𝒏 𝟐 = 𝟏−𝟑 𝟐 = -1. |a|= 𝒇 𝒎𝒂𝒙 − 𝒇 𝒎𝒊𝒏 𝟐 = 𝟏+𝟑 𝟐 =2.
По графику 𝒂 =2, c=0, T=2
T= 𝟐𝝅 𝒃𝝅 = 𝟐 𝒃 , то есть 𝟐 𝒃 =2, отсюда b=1
f(x)=2cosπx-1,
f 𝟐𝟐 𝟑 =f 𝟔+ 𝟒 𝟑 =𝒇 𝟒 𝟑 ,
f 𝟒 𝟑 =2cosπ· 𝟒 𝟑 -1 = 2cos 𝟒 𝟑 π-1 = 2cos π+ π 𝟑 -1= -2cos π 𝟑 −1= -2.
Ответ:-2


Т=2




Задание 7. На рисунке изображен график функции вида
f(x)= 𝒂cos(bπx+c)+d, где числа 𝒂,b, c и d-целые. Найдите 𝒇 𝟐𝟐 𝟑 .

Рекомендации
Первый способ. Использовать свойства функций. Основные правила преобразования графиков функций.

Второй способ. Составление системы уравнений, используя координаты точек, принадлежащих графику функции.

1
2
Решение
Уравнение прямой у=kx+b. Найдем k для первой прямой: k = 𝟑 𝟐 для второй прямой. , k= 𝟑 𝟑 =𝟏.
Первая прямая проходит через точку (-4;1)
Найдем b,подставив координаты этой точки в уравнение:1=1,5·(-4)+ b, b=7. у=1,5х+7-уравнение1 прямой.
3) Вторая прямая проходит через точку (-1;0),
Найдем b,подставив координаты точки в уравнение: 0=1·(-1)+ b, b=1. Тогда у = х+1-уравнение2 прямой.
4)Решим систему уравнений у=𝟏,𝟓𝒙+𝟕, 𝒚=𝒙+𝟏 Вычтем из 1 уравнения 2 уравнение , получим 0,5х+6= 0. Отсюда х = -12.Тогда у= -11. Ответ: -11


На рисунке изображены графики двух линейных
1 функций. Найдите ординату точек пересечения.

Построить график функции

3 Функция обратной
пропорциональности
1) Найдем а. График исходной функции смещен на 1 единицу вверх, а=1.
2) Найдем k. Координаты точки (3;2) подставим в формулу:


k =3; f(x)=

Ответ: f(-12)= 0,75