Презентация - "Презентация по геометрии 11 класс "Векторно- координатный метод решениия стреометрических задач""

Векторно-координатный метод решения стереометрических задач
Фетисова А.И.
МБОУ Субботинская СОШ
Шушенский район

Векторно-координатный метод в решении стереометрических задач
Существует два способа решения задач по стереометрии. Первый – классический требует отлично знания аксиом и теорем, логики, умения построить чертёжи.
Другой метод – применения векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила.

Рассмотрим применение данного метода при решении задач на вычисление:
угла между прямыми;
угла между прямой и плоскостью;
угла между плоскостями.
МБОУ Субботинская СОШ

Угол между прямыми
Углом между пересекающимися прямыми называют наименьший из углов, образованных при пересечении прямых
0<(a,b)≤90
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся .
[ 3, с. 16]
МБОУ Субботинская СОШ

При нахождении угла  между прямыми a и b используют формулу


или в координатной форме:

,


где и - векторы, соответственно

параллельные этим прямым.



МБОУ Субботинская СОШ

Примеры введения системы координат для различных фигур
МБОУ Субботинская СОШ

Пример решения задачи
Решение: Введём прямоугольную систему координат как показано на рисунке. Тогда А(0;0,0,), Е(0,5;0;1), В(1;0;0),
D1 (0;1;1), АЕ{0,5;0;1}, BD1 {-1;1;1}.






Ответ:

В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E – середина ребра A1B1 . Найдите косинус угла между прямыми AE и BD1 .
В
С
Z
А
Y
B1
C1
A1
D1
D
Х
Е
МБОУ Субботинская СОШ

Реши самостоятельно:
В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E,F – середины рёбер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BF. (0,8)
В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E,F – середины рёбер соответственно A1B1 и C1D1 . Найдите косинус угла между прямыми AE и BF. (√5/5)
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все рёбра которой равны 1, точки D,E – середины рёбер A1B1 и B1C1 . Найдите косинус угла между прямыми AD и BE. (0,7)
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1 E1F1 все рёбра которой равны 1, точки G и H – середины рёбер A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AG и BH. (0,9)


МБОУ Субботинская СОШ

Угол между прямой и плоскостью
Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.
0< (a,α)<90
Угол между взаимно перпендикулярными прямой и плоскостью равен 90
Если прямая параллельна плоскости (или лежит в ней), то угол между ними считается равным 0.
[3, c. 21]

МБОУ Субботинская СОШ

Угол между прямой a и плоскостью α можно вычислить по формуле



или в координатной форме

,

где - ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости α, - направляющий вектор прямой a.
[1]
МБОУ Субботинская СОШ

Пример решения задачи
В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти угол между прямой AD1 и плоскостью , проходящей через точки A1 , E и F, где E– середина ребра C1D1 , а точка F лежит на ребре DD1 , так, что D1 F=2 DF [ кор c.23]
А(0;0;0), А1(0;0;1), D1 (1;0;1), E(1;0,5;1),
F (1;0;1/3), AD1 {1;0;1}, A1E{1;0,5;0}, A1F {1;0;-2/3}.
Пусть n{x,y,z}- вектор, перпендикулярный плоскости . Тогда


вектор найдём из условия
y=-2x, z=1,5x, пусть х=2,
тогда n{2;-4;3}, ,


Ответ: =arcsin 5/√58



Нарвинская СОШ

Реши самостоятельно:
В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E – середина ребра A1B1 . Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1. (√10/10)
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все рёбра которой равны 1, точка D – середина ребра A1B1 . Найдите синус угла между прямой AD и плоскостью BCC1. (√15/10)
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1 E1F1 , все рёбра которой равны 1, точка G – середина ребра A1B1 . Найдите синус угла между прямой AG и плоскостью BCC1.
(√15/10)


МБОУ Субботинская СОШ

Угол между плоскостями
Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.
Величина двугранного угла принадлежит промежутку (0, 180)
Величина угла между пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку (0, 90]
Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным 0
Нахождение угла между плоскостями может быть сведено к нахождению угла между перпендикулярами к данным плоскостям
МБОУ Субботинская СОШ

Пример решения задачи
В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти угол между плоскостями AD1 E и D1 FC, где точки E и F– середины рёбер A1B1 и B1C1 соответственно [ кор c.33]
А(0;0;0), С(1;1;0), D1 (1;0;1), E(0;0,5;1),
F (1/2;1;1), AD1 {1;0;1}, AE{0;0,5;1}, СF {-1/2;0;1) , CD1 {0;-1;1}.
Вектора и находим из условий







Ответ: 60

МБОУ Субботинская СОШ

Реши самостоятельно:
Точка K — середина ребра CC1 куба ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между плоскостями B1DK и ABC. (arccos √6/3)
В основании правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит треугольник ABC, в котором
AB = a. На боковых рёбрах призмы взяты точки M, P и K, удалённые от плоскости основания ABC соответственно на расстояния a/2, a,3/2a. Найдите угол между плоскостями ABC и MPK. (π/4).
Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равны между собой. Точка K — середина ребра B1C1. Найдите угол между плоскостями AKC и AA1K. (arccos 6/√57)
[6, с. 60,61]

МБОУ Субботинская СОШ

Список литературы:
Атанасян Л.С. И др. Геометрия 10-11.
(М.: Просвещение, 2010)
Бердов П. ( www.berdov.com )
Корянов А.Г., А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения. (www.alexlarin.narod.ru)
Малкова А.Г. Подготовка к ЕГЭ по математике. (www.EGE-Study.ru )
Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы в 2ч. (М.: Мнемозина 2009)
Шестаков С.А. Векторы на экзаменах. Векторный метод в стереометрии. (М. :МЦНМО, 2005)
Открытый банк заданий ( www.mathege.ru )
Федеральный институт педагогических измерений. Демоверсия 2015, кодификатор, спецификация
( www.fipi.ru )
МБОУ Субботинская СОШ