Презентация - "Аналитический метод решения стереометрических задач"

Задание 14
Аналитический метод решения стереометрических задач

Параграф 1. Угол между прямыми
Угол между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными этим скрещивающим прямым.

Параграф 2. Угол между прямой и плоскостью
Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.
План нахождения:
Построить искомый угол как угол прямоугольного треугольника
A
B
Подсчитать какие-нибудь две стороны полученного прямоугольного треугольника
Найдем какую-нибудь из тригонометрических функций искомого угла и далее сам угол.

Параграф 2. Угол между прямой и плоскостью

Параграф 3. Угол между плоскостями
Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется угол, образованный при пересечении этих плоскостей третьей плоскостью, перпендикулярной к линии пересечения первых двух плоскостей.
План нахождения:
Соответствующий линейный угол строится с помощью двух перпендикуляров a и b, проведенных в указанных плоскостях к прямой их пересечения, а его величина в дальнейшем находится либо из некоторого прямоугольного треугольника, либо из некоторого треугольника с применением теоремы косинусов.
Решение задачи сводится непосредственно к построению линейного угла двугранного угла, образованного пересекающимися плоскостями, и вычислению его значения.

Параграф 3. Угол между плоскостями

Параграф 3. Угол между плоскостями

Параграф 3. Угол между плоскостями

Параграф 4. Расстояние от точки до прямой
Расстояние от точки (например, А) до прямой (например, ВС), не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую.
В
С
А
H
α
План нахождения:
Через три точки А, В и С провести треугольник АВС, в котором опустить высоту из точки А на сторону ВС. Длина этой высоты и есть искомое расстояние.

Параграф 5. Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
План нахождения: Задача найти расстояние от точки S до плоскости АВС.
В плоскости необходимо выбрать прямую (в нашем случае, ВС), к которой необходимо опустить перпендикуляр из данной точки (в нашем случае, точка S, т.е. перпендикуляр SM) и некоторой точки в плоскости (в нашем случае, точка А, т.е. перпендикуляр АM). Расстояние из точки S на прямую АМ и есть искомое расстояние.

Параграф 5. Расстояние от точки до плоскости
Примечание. В некоторых задачах очень сложно найти прямую, к которой можно провести два перпендикуляра. В этом случае используют метод параллельных прямых и плоскостей.
Метод параллельных прямых и плоскостей
Данный метод опирается на следующие утверждение: расстояние от точки M до плоскости ὰ равно расстоянию до плоскости ὰ от произвольной точки P , лежащей на прямой l , которая проходит через точку M и параллельна плоскости ὰ.

Параграф 5. Расстояние от точки до плоскости

Параграф 6. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми (например, p и q) равно длине отрезка их общего перпендикуляра.
A
B
C
D
H
План нахождения:
На одной из данных прямых , например, q, выбрать некоторую точку А. Через прямую p и точку А определяется плоскость ὰ.
В плоскости ὰ через точку А проведем прямую p1││p.
Через p1 и q определяется плоскость β.
Т.к. p1││p, p││ β. Расстояние от каждой точки прямой до плоскости одно и тоже. Выбрать некоторую точку на прямой и найти расстояние от этой точки до плоскости.

Параграф 6. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

Список литературы
Панферов В.С., Сергеев И.Н. Отличник ЕГЭ. Математика. Решение сложных задач.
Лысенко Ф. Ф., Кулабухова С. Ю. Математика. Подготовка к ЕГЭ 2021. Профильный уровень.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций. – М.: Просвещение, 2020.