Презентация - ""Обучение учащихся решению задач с параметрами""

«Обучение учащихся решения задач с параметрами»



Выполнила:
учитель математики
Каталова О.В.

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение или неравенство с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений и неравенств, для каждого из которых должно быть получено решение.

Задачи с параметрами часто встречаются на вступительных экзаменах по математике и столь же часто оказываются не по силам абитуриентам.
Это, вообще говоря, не удивительно, поскольку у большинства учащихся нет должной свободы в общении с параметрами. Несмотря на то, что программа по математике средней общеобразовательной школы не упоминает в явном виде о задачах с параметрами, было бы ошибкой утверждать, что вопрос о решении задач с параметрами никоим образом не освещается в рамках школьного курса математики.

Достаточно вспомнить школьные уравнения:
x2 = a,
ax2+bx+c = 0,
cos x = a,
sin x = a,
tg x = a,
ctg x = a,
в которых a, b, c есть не что иное, как параметры. Считается, что задачам с параметрами следовало бы уделять больше внимания.

Теоретические сведения
Определение 1
Уравнение вида F(a,x)=0 с двумя переменными х и а, называется уравнением с параметром а и переменной х, если для каждого значения переменной а = аi необходимо исследовать соответствующие частные уравнения F(ai,x)=0.
Определение 2
Уравнение вида f(a)x+g(a)=0, где f(a) и g(a) – любые выражения с параметром а и х – переменная, называется линейным уравнением стандартного вида.
Определение 3
Уравнение вида f(a)x2 +g(a)x+h(a)=0 c параметром а и переменной х называется уравнением стандартного вида не выше второй степени

Определение 4
В уравнении F(a;x)=0 функция х =f(a) называется общим решением на множестве Af значений параметра, если для каждого ai принадлежащего множеству Аf х =f(ai) – решение соответствующего частного уравнения F(ai;x)=0.
Графическое представление решения

Общий метод решения линейных уравнений с параметром:
Найдём все значения, где параметр не определён и запишем ОДЗП.
Выполним равносильные преобразования и запишем уравнение в виде f(a)x+g(a)=0, который является стандартным для данного класса уравнений.
Найдём КЗП, решив уравнение f(a)=0
Для каждого контрольного значения параметра решим соответствующее частное уравнение.
Находим общее решение уравнения x=-g(a)/f(a) для всех значений а, кроме КЗП.
При необходимости строим модель общих решений и записываем ответ.

Общий метод решения квадратных уравнений с параметром:
Находим КЗП, для которых соответствующие частные уравнения не определены, записываем ОДЗП.
На ОДЗП исходное уравнение при помощи равносильных преобразований приводим к стандартному виду f(a)x2+g(a)x+h(a)=0
Выделяем множество КЗП, где f(a)=0 и для каждого КЗП решаем соответствующее частное уравнение, если f(a)=0 имеет конечное множество решений.
Выделяем КЗП, для которых Д=g(a)2 - 4f(a)h(a) обращается в нуль. Соответствующие частные уравнения имеют двукратный корень x= -g(a)/2f(a)
На каждом промежутке ОДЗП определяем знак дискриминанта и решаем частные уравнения.
Составляем модель решений.
Записываем ответ.

Общий метод решения линейных уравнений функционально-графическим методом:
В уравнении находим ОДЗП.
На ОДЗП уравнение приведем к виду
f(a)x + g(a)=F(x).
Введем функции:
а) линейную с параметром вида y=f(a)x + g(a) - бесконечное множество частных функций;
б) y=F(x) - функция со строго фиксированным графиком, где F(x)=kx+l
Из уравнения f(ai)=k находи КЗП, для которого график частной линейной функции y=f(ai)x+g(ai) параллелен графику y=kx+l.
Для остальных f(ai) ≠ k, для частных линейных функций y=f(ai)x+g(ai) и y=F(x) находим число решений уравнения.
Записываем ответ.

Применение функционально-графического метода решения уравнений
С5. ЕГЭ.
Найдите значения параметра а, при которых количество корней уравнения
(2,5 – а)х3 -2х2 + х =0 равно количеству общих точек линий х2 + у2 = а и у = 3 -|х-1|

Решение:

1.Решим уравнение (2,5 - а)х3-2х2 + х =0 аналитическим методом.

х((2,5 – а)х2 – 2х + 1) =0
х = 0 или (2,5 – а)х2 – 2х + 1 =0 (1)

Решим уравнение (1).
КЗП: а = 2,5; Для остальных значений а, не равных 2,5, исследуем уравнение (1).
В зависимости от знака дискриминанта Д1 = а – 1,5 получим:
1 корень-

2 корня-

3 корня -

Число общих точек пересечения линий х2 + у2 = а и
у = 3 - |х-1| найдем графически.

1) х2 + у2 = а – это уравнение окружностей с центром в начале координат и а=R2
2) у = 3 - |х-1| - «уголок»
Заметим, что окружность будет касаться «уголка», если а = 2;8;10.
Таким образом:
1 точка –

2 точки –

3 точки –

4 точки –

Точек пересечения нет -

Модель решений:









Ответ: 2,5; 8; 10.

Методика формирования общего метода решений уравнений и неравенств с параметром

I. Рассмотреть конкретный пример и выделить все закономерности действия в решении уравнения (неравенства) с параметром

II. Выделить общий метод решения

III. Закрепить выделенный метод решения, фиксируя действия в общей схеме и проговаривая каждый этап

IV. Представить схему общего метода решения (как правило, учащиеся выполняют это самостоятельно).