Презентация - "Презентация по математике "ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ""

Иррациональные уравнения
Филиал ГАПОУ НГРТ п.Саракташ
Дорош Анна Анатольевна

Примеры:

Является ли данное уравнение
иррациональным?

Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:

Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:

где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.

Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии


n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней.
Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример. Решите ур-ние


Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат.
При этом корень слева исчезнет:
x– 5 = 62
х = 36 + 5
х = 41

Ответ: 41.

Пример. Решите ур-ние


Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным.
Возведем обе части в куб:
х – 5 = (– 6)³
х = – 216 + 5
х = – 211
Ответ: – 211.

Пример. Найдите решение ур-ния

Решение. Возведем обе части в пятую степень:

Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:




Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.
Ответ: (– 2); 16. Обязательно делаем проверку!

Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Возводим обе части во вторую степень:

Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:
Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):

Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.

Ответ: 6.Обязательно делаем проверку!

Задачник Алгебра и начала математического анализа
стр.109
№33.11-33.15(а,в)

Уравнения с двумя квадратными корнями

Ситуация осложняется, если в ур-нии есть сразу два квадратных корня. В этом случае их приходится убирать последовательно. Сначала мы переносим слагаемые через знак «=» таким образом, чтобы слева остался один из радикалов и ничего, кроме него. Возводя в квадрат такое ур-ние, мы избавимся от одного радикала, после чего мы получим более простое ур-ние. После получения всех корней надо проверить, какие из них являются посторонними. Для этого их надо просто подставить в исходное ур-ние.

Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:

Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:

х₁=0,25
х₂=3
Выполняем проверку!
Ответ:3

Самостоятельная работа