Презентация - "Перпендикуляр к прямой. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника"

Перпендикуляр к прямой. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника.
7 класс.
Геометрия

2
Вспомним!
А
В
К
Е
М






∟

Возьмем прямую и точку А, не лежащую на этой прямой. Соединим точку А с точкой Н, лежащей на прямой (Рис.1).
Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой , если прямые АН и перпендикулярны.

Перпендикулярные прямые — две прямые, которые пересекаются под прямым углом.

Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если при пересечении образуют 4 прямых угла.

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
а
Н
5
А

Изучение нового материала.
Построение перпендикуляра к прямой

АН а

Практическое задание

- Начертите прямую а и отметьте точку А,
- Через точку проведите прямую перпендикулярную прямой а.
- Точку пересечения обозначьте Н.




А

6









Н

а

ТЕОРЕМА.
Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Пусть точка А не лежит на прямой ВС.
Проведем луч ВА.
Затем от луча ВС отложим угол СВD, равный углу АВС.
На луче ВD отложим отрезок ВК, равный отрезку ВА (Рис.2).


Докозательство

Проведем прямую АК, пусть Н - точка пересечения прямых ВС и АК (Рис.3).

АВН = КВН по первому признаку равенства треугольников: ВН - общая сторона, ВА = ВК, АВН =КBН, ВНА =ВНD.
Но ВНА и ВНD - смежные углы, тогда по свойству смежных углов ВНА +ВНD = 180 градусов, следовательно, каждый из смежных улов прямой, т.е. ВНА =ВНD = 90 градусов, а значит АН перпендикулярно ВС.

Предположим, что через точку А можно провести еще один перпендикуляр АН1 к прямой ВС, тогда получим, что две прямые АН и АН1, перпендикулярные к прямой ВС пересекаются в точке А (Рис.4).
Но по свойству перпендикулярных прямых, прямые АН и АН1 пересекаться не могут, значит, наше предположение неверно и через точку А можно провести только один перпендикуляр к прямой ВС.

Для проведения перпендикуляра из точки к прямой, используют чертежный угольник (Рис.5). Чертежный угольник прикладывают так, чтобы одна из его сторон, образующих прямой угол угольника, располагалась вдоль прямой, к которой нужно провести перпендикуляр

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника.

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Шутливое
Медиана - это обезьяна, которая всем говорит: «Здрасьте!» и делит противоположную сторону на 2 равные части.

Для построения медианы необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти середину стороны;

2. Соединить точку, являющуюся серединой стороны треугольника, с противолежащей вершиной отрезком — это и будет медиана.

У треугольника три стороны, следовательно, можно построить три медианы.

1.Медиана разбивает треугольник на два равновеликих, то есть имеющих одинаковую площадь.
Медианы и площади.
S1=S2
S1

S2
2.Три медианы разбивают треугольник на шесть равновеликих.
S1

S2
S6

S5

S4

S3

S1=S2=S3=S4=S5=S6


.

3.Отрезки, соединяющие точку пересечения медиан с вершинами треугольника, разбивают треугольник на три равновеликих треугольника.

S1

S2
S3

S1=S2=S3


.

Биссектри́са (от bi- «двойное», и sectio «разрезание») угла — луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла.


Можно также определить биссектрису как геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от сторон этого угла.

Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.

У треугольника три угла и три биссектрисы.

Все биссектрисы пересекаются в одной точке.

Свойства биссектрисы треугольника

К
1.Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

В
А
С

Свойства биссектрисы треугольника

Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в центре вписанной окружности.
В
А
С
М
Н
К
О
.

Свойства биссектрисы треугольника

Свойства биссектрисы треугольника

Свойства биссектрисы треугольника

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.



Так же как медианы и биссектрисы, треугольник имеет три высоты.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Шутливое
Высота - это кот с торчащим хвостом, которым он соединяет сторону и вершину под прямым углом.

ОБРАТИ ВНИМАНИЕ!
Если из одной и той же вершины разностороннего треугольника провести медиану, биссектрису и высоту, то медиана окажется самым длинным отрезком, а высота — самим коротким отрезком.

Свойства медиан равнобедренного треугольника
В равнобедренном треугольнике две медианы, проведенные к равным сторонам треугольника, равны, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой.

Свойства медиан равнобедренного треугольника
Верно и обратное: если в треугольнике две медианы равны, то треугольник — равнобедренный, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой угла при своей вершине.

29
Домашнее задание:
Учебник геометрии Атанасян Л.С.
§ 2 раздел 17; № 101;102;103.
Дополнительно:
Рабочая тетрадь
№ 60; 63; 64.