Презентация - ""Предмет и аксиомы стереометрии""

Стереометрия

Предмет и аксиомы стереометрии.
СТЕРЕОМЕТРИЯ – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.
Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» - объёмный, пространственный и «метрео» - измерять.
Первый дошедший до нас учебник – руководство по математике под названием «Начала», созданное древнегреческим ученым Евклидом в III в. до н. э. В течение длительного времени геометрию изучали по этой книге.

Неопределяемые понятия и
отношения
Точка есть то, что не имеет частей.
Прямая есть длина без ширины.
Плоскость есть то, что имеет только длину и ширину.

Точка
Прямая
Плоскость




Формулировки Евклида:
Современная концепция:

Простейшие геометрические тела

Геометрические фигуры
Геометрические тела, как и другие геометрические фигуры, являются воображаемыми объектами.
Изучая свойства геометрических пространственных фигур мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов.

Условные изображения пространственных фигур.
Условное изображение пространственной фигуры – это её проекция на плоскость.
Обычно выбирают то изображение, которое создаёт правильное представление о форме фигуры.

Условные обозначения
Точки - прописными латинскими буквами (A, B, C, D, E, F, G, H, ...)
Прямые – строчными латинскими буквами (a, b, c, d, e, f, g, h, ...)
Плоскости – строчными греческими буквами (a, b, g, d, e, z, h, q, i, k, l, m, n, x, o, p, r, s, t, u, f, c, y, w)

Греческий алфавит
A a - альфа
B b - бета
G g - гамма
d - дельта
e - эпсилон
Z z - дзета
H h - каппа
Q q - тэта
N n - ню
X x - кси
O o - омикрон
P p - пи
R r - ро
S s - сигма
T t - тау
U u - ипсилон
F f - фи
C c - хи
Y y - пси
W w - омега





I i – йота
K k – каппа
M m – мю
L l - лямбда

Условные изображения и обозначения прямых, точек и плоскостей
Точка А принадлежит плоскости a
Точка В не принадлежит плоскостиa



Прямая с не лежит в плоскости a
Прямая k лежит в плоскости a
Прямая m пересекает плоскость a в точке А


Плоскости a и b пересекаются по прямой а

Что такое аксиома?
АКСИОМА – это высказывание, истинность которого принимается без доказательства (аксиома - греческое слово, означающее «бесспорное положение»).
Аксиомы были сформулированы Евклидом ( III в. До н. э.) в его знаменитом сочинении «Начала».

Вспомним известные вам аксиом планиметрии:
Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки.
Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Если две фигуры совмещаются наложением, то говорят, что они равны.

А1: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит плоскость, и притом только одна.
ВОПРОСЫ:
-всегда ли три точки лежат в одной плоскости?
-всегда ли четыре точки лежат в одной плоскости?
-всегда ли через три точки проходит плоскость, и притом только одна?
-сколько плоскостей можно провести через две точки?

А2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости.
ВОПРОСЫ: верно ли утверждение:
-если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?
-если три точки окружности лежат в в этой плоскости?
-если прямая пересекает две стороны треугольника, то она лежит в плоскости данного треугольника?

А3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей
ВОПРОСЫ: могут ли две плоскости иметь:
-только одну общую точку?
-только две общие точки?
-только одну общую прямую?
-могут ли две пересекающиеся плоскости иметь общую точку, не принадлежащую линии пересечения этих плоскостей?

Рассмотрим куб ABCDА1B1C1D1



г) назовите прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и DD1C1, BB1C1 и AA1B1, AA1D1 и A1B1C1;

а) назовите точки, которые лежат в плоскости DCC1, ABC, ADD1;
б) назовите плоскости, которым принадлежат точки М, К, P1, R, S, N;
в) назовите плоскости , в которых расположены прямые KP, С1D1, RP, MK;
ВОПРОСЫ:

Рассмотрим куб ABCDА1B1C1D1



д) назовите прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и KPN, RPK и DСС1, BDC1 ;
е) назовите точки пересечения прямых DS и CC1, AD и PC, MR и AD, KP и AD, DC1 и RP1;
ж) назовите общие точки плоскостей CDD1 и BCC1, ABC и АА1D1, BDC и ABB1.BDС1 и RSP;

ВОПРОСЫ: