Презентация - "Презентация к докладу на тему "Нахождение площади многоугольников на клетчатой бумаге""

Районная научно-практическая конференция школьников Коченевского района






 
 
Нахождение площади многоугольников на клетчатой бумаге
 




Выполнила: ученица 8 класса МКОУ Катковская СОШ Зорикян Ануш.
Научный руководитель: Лотц Ангелина Владимировна, учитель математики МКОУ Катковская СОШ . 

р.п. Коченево, 2022

Объект исследования - задачи на вычисление площади геометрических фигур на клетчатой бумаге.
Предмет исследования - способы вычисления площади геометрических фигур на клетчатой бумаге.

Цель работы: изучить способы вычисления площадей фигур на клетчатой бумаге.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
изучить литературу по исследуемой теме;
отобрать интересную и понятную информацию для исследования;
найти различные методы и приёмы вычисления площади геометрических фигур на клетчатой бумаге;
проанализировать и систематизировать полученную информацию;
создать электронную презентацию работы для представления собранного материала.
Методы исследования - моделирование, сравнение, обобщение, аналогия, анализ и классификация информации.

Многоугольники
 
В различной учебной литературе даются такие определения многоугольника:
геометрическая фигура, ограниченная со всех сторон замкнутой ломаной линией, состоящая из трех и более отрезков (звеньев) называется многоугольником.

Многоугольник – это геометрическая фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а не смежные не имеют общих точек.
Многоугольник называют по количеству его вершин трех-, четырех-, пяти-, шести - и т.д.

Нам известны следующие многоугольники:

треугольник – геометрическая фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, которые соединены между собой отрезками;





квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны (ромб, у которого углы прямые);





прямоугольник – параллелограмм, у которого все углы прямые;

ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны между собой;





параллелограмм - (греч. - линия) - это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых;



трапеция - (греч.— «столик»; «стол, еда») – четырёхугольник, две противоположные стороны которого параллельны между собой, а две другие не параллельны. Две параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие - боковыми сторонами трапеции.

Многоугольник называется выпуклым, если при проведении прямой через любую из его сторон весь многоугольник лежит только по одну сторону от этой прямой.







Невы­пук­лы­ми  яв­ля­ют­ся все осталь­ные мно­го­уголь­ни­ки.

Многоугольник без самопересечений называется решётчатым, если все его вершины находятся в узлах решетки (вершины клетки).

Формулы вычисления площадей многоугольников

 

Способы вычисления площади многоугольников на клетчатой бумаге:
подсчет клеток;
использование основных формул планиметрии;
разбиение многоугольника на части;
достраивание многоугольника до прямоугольника;
нахождение площади многоугольника по формуле Пика.

Рис. 1 Метод подсчета
Рис. 2 По формулам планиметрии

Рис. 3 Метод разбиения
Рис. 4 Метод достраивания

𝑆=В+ Г 2 −1,
Г – количество точек на границе фигуры;
В – количество точек пересечения решетки внутри фигуры.
Рис. 5 Формула Пика
𝑆=7+ 8 2 - 1= 7 + 4 - 1= 10 см 2
Рис. 6 Нахождение площади по формуле Пика

Тестирование учащихся
В эксперименте приняло участие 25 человек. Тестирование проводилось в случайно выбранной группе учащихся, на решение задач отводилось 20 минут. Учащимся было предложено решить следующие 5 задач, из открытого банка заданий ОГЭ:
Задача 1. Найти площадь многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге. Размер клетки 1см. х 1см.

Решение:
1 способ

Достраиваем фигуру до прямоугольника,
получаем площадь искомой фигуры
𝑆=24−6−4−4−2−2=6 см 2 .


2 способ:
Количество внутренних узлов В = 4,
количество внешних узлов Г = 6,
тогда площадь искомой фигуры равна
𝑆=4+ 6 2 −1=6 см 2 .
Ответ: 6 см2.

Задача 2. Найти площадь фигуры, изображенной на рисунке размером клетки 1 см на 1 см.


Решение:
1 способ
Разбиваем фигуру на прямоугольные треугольники и прямоугольник.
Площадь искомой фигуры равна 𝑆=4+3+1+1=9 см 2 .




2 способ
Количество внутренних узлов В = 6,
количество внешних узлов Г = 8,
тогда площадь искомой фигуры равна
𝑆=6+ 8 2 −1=9 см 2 .
Ответ. 9 кв.см.

Задача 3. Найти площадь параллелограмма, изображенного на клетчатой бумаге.
Решение:
1 способ
𝑆=𝑎ℎ, 𝑎=4, ℎ=7. 𝑆=4∙7=28 кв. ед.





2 способ
Г =18, В = 20. 𝑆=20+ 18 2 −1=28 кв. ед.
Ответ: 28 кв. единиц.

Задача 4. Найти площадь треугольника и трапеции в квадратных единицах.

Проведенный нами эксперимент показал:
знание формулы Пика – 0%;
количество учащихся, допустивших ошибки при решении задач по формулам - 13 25 или 5,2%. Из них:
5 10 учащихся из 8 класса; 5 9 учащихся из 9 класса; 2 3 учащихся из 10 класса; 1 3 учащихся из 11 класса;
количество учащихся, допустивших ошибки при решении задач по формуле Пика - 7 25 или 2,8%. Из них: 4 10 – 8 класс; 2 9 – 9 класс; 1 3 – 10 класс; 0 3 - 11 класс;
время, затраченное при решении по формуле Пика, сократилось в 2 раза;
количество безошибочных работ увеличилось почти в 3 раза.
 

Спасибо за внимание!