Презентация - "Математика 10 класс._2.Векторы в пространстве_компланарные. разложение вектора"

ВЕКТОРЫ в пространстве
Компланарные векторы.
Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.
Средняя школа курортного поселка Домбай
ГЕОМЕТРИЯ
10 класс
Учитель информатики и математики
Даутова А.С.

Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.
c
Другими словами, векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.
a
c
Любые два вектора компланарны.
2

Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны.
c
a
k
3

Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными.
На рисунке изображен параллелепипед.
А
О
Е
D
C
Являются ли векторы ВВ1,

ОD и ОЕ компланарными?
В
B1
4

А
О
Е
D
C
В
B1
Векторы ОА, ОВ и ОС не компланарны, так как вектор

ОС не лежит в плоскости ОАВ.
Являются ли векторы ОА,

ОВ и ОС компланарными?
5

B
C
A1
B1
C1
D1
Являются ли векторы AD, А1С1 и D1B компланарными?
Векторы А1D1, A1C1 лежат в плоскости А1D1C1.

Вектор D1В не лежит в этой плоскости.
Векторы AD, А1С1 и D1B не компланарны.
A
D
6

A
B
C
A1
B1
C1
D1
D
Являются ли векторы AD и D1B компланарными?
Любые два вектора компланарны.
7

№355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.
Компланарны ли векторы?
В
А
В1
С1
D1
D
С
А1
АА1, СС1, ВВ1
Три вектора, среди которых имеются
два коллинеарных, компланарны.
8

№355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.
Компланарны ли векторы?
В
А
В1
С1
D1
D
С
А1
АВ, АD, АА1
Векторы АВ, АD и АА1 не компланарны, так

как вектор АА1 не лежит в плоскости АВС.
9

№355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.
Компланарны ли векторы?
В
А
В1
С1
D1
D
С
А1
В1В, АС, DD1
Три вектора, среди которых имеются
два коллинеарных, компланарны.
10

№355 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.
Компланарны ли векторы?
В
А
В1
С1
D1
D
С
А1
АD, CC1, А1B1
Векторы АВ, АD и АА1 не компланарны, так

как вектор АА1 не лежит в плоскости АВС.
АD, CC1, А1B1
Векторы
не компланарны
11

Любые два вектора компланарны.
Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны.
Если вектор можно разложить по векторам

и , т.е. представить в виде

где x и y – некоторые числа, то векторы , и

компланарны.
c
a
b
c = xa + yb
a
b
c
Признак компланарности
12

c = xa + yb
Докажем, что векторы компланарны.
b
О
В
В1
А1
А
С
ОВ1 = у ОВ
ОА1 = х ОА
Векторы ОА и ОВ лежат в одной плоскости ОАВ.
Векторы ОА1 и ОВ1 также лежат плоскости ОАВ.
А следовательно, и их сумма – вектор ОС = х ОА + у ОВ,

равный вектору .
c
c
a
13

Если вектор можно разложить по векторам

и , т.е. представить в виде

где x и y – некоторые числа, то векторы , и

компланарны.
c
a
b
c = xa + yb
a
b
c
Признак компланарности
14

Справедливо и обратное утверждение.
Если векторы , и компланарны, а векторы

и не коллинеарны, то вектор можно

разложить по векторам и

, причем

коэффициенты разложения определяются

единственным образом.
c
a
b
c = xa + yb
a
b
c
a
b
15

Правило треугольника.
a
a
b
b
a +
b
АВ + ВС =
АС
П
О
В
Т
О
Р
И
М

Сложение векторов
16

Правило параллелограмма.
a
a
b
b
a +
b
b
a +
АВ + АD =
АС
А
В
D
C
П
О
В
Т
О
Р
И
М

17
Сложение векторов

Правило многоугольника.
= АO
АВ + ВС + СD + DO
a
c
n
m
c
m
n
a+c+m+n
a
П
О
В
Т
О
Р
И
М

18
Сложение векторов

A
В
С
В1
D
Е
Правило параллелепипеда.
a
b
c
О
OE + ED
= (OA + AE) + ED
= OA + OB + OC =
= a + b + c
OA + OB + OC = OD
из OED
из OAE
OD =
19

Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векорам.
Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Если вектор представлен в виде


где x, y и z - некоторые числа, то говорят, что вектор

разложен по векторам , и . Числа x, y и z
называются коэффициентами разложения.
p = xa + yb + zc
c
p
b
a
Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.
20

D
В
A
С
B1
C1
D1
№358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:
АВ + АD + АА1
A1
= AC1
21

В
A
С
C1
D1
D
№358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:
DА + DC + DD1
A1
= DB1
B1
22

В
A
С
C1
D1
D
№358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:
A1
= DB1
B1
A1B1 + C1B1 + BB1
DC
+ DD1
+ DA
23

В
A
С
C1
D1
D
№358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:
A1
= A1C
B1
A1A + A1D1 + AB
+ A1B1
A1A + A1D1
24

В
A
С
C1
D1
D
№358 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:
A1
= BD1
B1
B1A1 + BB1 + BC
BA +
BB1 + BC
25

В
A
С
C1
D1
D
№359 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.


Разложите вектор BD1 по векторам BA, ВС и ВВ1.
A1
B1
ВD1 = BA + BC + BB1
По правилу параллелепипеда
26

В
A
С
C1
D1
D
№359 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.


Разложите вектор B1D1 по векторам А1A, А1В и А1D1.
A1
B1
В1D1 = B1A1+ А1D1
По правилу треугольника из А1В1D1:
из А1В1B
= (В1B + BA1)+ А1D1
=
= (A1A – A1B)+ А1D1
=
=
= A1A – A1B+ А1D1
27