Презентация - "Простейшие задачи теории вероятностей"
- Презентации / Другие презентации
- 0
- 18.10.24
Просмотреть и скачать презентацию на тему "Простейшие задачи теории вероятностей"
МБОУ «Средняя школа №3 имени Ленинского комсомола»
г.Гагарин Смоленской области
Учитель математики
Никитина Елена Анатольевна
Простейшие вероятностные
задачи
История возникновения
Блез Паскаль
Пьер Ферма
Якоб Бернули
Христиан Гюйгенс
Пьер-Симон Лаплас
Пуассон
П.Л. Чебышев
А.А. Марков
А.М. Ляпунов
А.Н. Колмогоров
Теория вероятностей
раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события
(далее СС), случайные величины, их свойства и операции над ними. (Советский энциклопедический словарь, 1982 год)
Основные понятия
Познание действительности в естественных науках происходит в результате испытаний (эксперимента, наблюдений, опыта).
Испытанием или опытом называется осуществление какого-нибудь определенного комплекса условий, который может быть воспроизведено сколь угодно большое число раз.
Случайным (СС)называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания (опыта).
Таким образом, событие рассматривается как результат испытания.
Пример.
Бросание монеты – это испытание.
Появление орла при бросании – событие.
Основные понятия
Два или несколько событий называются равновозможными в данном испытании, если имеются основания считать, что ни одно из этих событий не является более возможным или менее возможным, чем другие.
Пример. При одном бросании одной и той же игральной кости появление 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков - все это события равновозможные.
Два события называются несовместными в данном испытании, если появление одного из них исключает появление другого, и совместными в противном случае.
Пример. В ящике имеются стандартные и нестандартные детали. Берем на удачу одну деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. Эти события несовместные.
События А и В называются противоположными, если всякое наступление события А означает ненаступление события В.
Обозначение:
А -событие А
_
А - событие противоположное событию А (читается «не A»).
Пример. Попадание и промах при одном выстреле по цели - события противоположные.
Наблюдаемые нами события различаются по степени возможности их появления и по характеру их взаимосвязи.
Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в результате данного испытания.
Пример. Получение студентом положительной или отрицательной оценки на экзамене есть событие достоверное, если экзамен протекает согласно обычным правилам.
Событие называется невозможным, если оно не может произойти в результате данного испытания.
Пример. Извлечение из урны белого шара, в которой находятся лишь цветные (небелые) шары, есть событие невозможное.
ИТАК…
Случайное событие (СС)- это событие, которое либо произойдёт, либо нет.
Каждое случайное событие (СС) иметь свою вероятность произойти (сбыться, реализоваться).
Испытание – любое действие, которое может привести к одному или нескольким результатам.
Исход - конечный результат испытания. Значит испытание может иметь один или несколько исходов.
Благоприятный исход - желаемый исход.
Классическое определение вероятности
Вероятность
события
Р(А) –вероятность события А
=
Число благоприятных исходов
N(A) – число благоприятных
исходов
Число всех исходов
N – число всех исходов
ПРАВИЛО:
Вероятность всегда равна
от 0 до 1.
НИ БОЛЬШЕ,НИ МЕНЬШЕ!
ЗАДАЧА №1.
Найти вероятность того, что
при одном бросании
игральной кости (кубика)
выпадет:
а) три очка,
б) число очков, кратное трем,
в) число очков, большее трех,
г)число очков, не кратное трем.
Решение задачи №1(а):
выпадет:
а) три очка
N = 6 - число всех исходов
Событие А : "Выпадение трех очков"
Оно одно!
N(А) = 1
N = 6 - число всех исходов
N = 6 - число всех исходов
Решение задачи №1(б):
выпадет:
б) число очков, кратное трем
N = 6 - число всех исходов
N (А) = 2
Событие А :"Выпадение числа
очков, кратных трем, т. е 3 или 6"
Решение задачи №1(в):
выпадет:
в) число очков, большее трех
N = 6 - число всех исходов
Событие А : " Выпадение числа
очков,
большего трех, т.е 4,5,6 "
N(А) = 3
Решение задачи №1(а):
выпадет:
г) не кратное трем
N = 6 - число всех исходов
Событие А : " Выпадение чисел,
не кратных трем,
т.е 1,2,4,5"
N (А) = 4
Задача №2
Найти вероятность того, что при вытаскивании
одной карты из колоды( 52 карты) эта карта окажется:
а) дамой пик,
б) дамой любой масти,
в) картой пиковой масти,
г) картой черной масти.
Решение задачи 2:
а) дамой пик,
б) дамой любой масти
Всего имеем N = 52 возможных исходов
Решение задачи а):
Решение задачи б):
N(А)=1 очевидно,
что в колоде
одна дама пик
N(А)=4
Решение задачи 2:
в) картой пиковой масти,
г) картой черной масти
Всего имеем N = 52 возможных исходов
Решение задачи в):
Решение задачи г):
N(А)=13
(в колоде ровно по 13 карт
каждой масти)
N(А)=26
(в колоде половина карт черной масти)
Задача № 3
Найти вероятность того, что при подбрасывании двух костей одновременно суммарное число очков будет равным пяти.
Правило умножения
N – число всех исходов события А
М – число всех исходов события В
N • M - число всех возможных исходов независимо проведенных испытаний А и В
А и В - независимые испытания
Задача №4 (самостоятельно)
В случайном эксперименте бросают
две игральные кости.
Найдите вероятность того, что сумма
выпавших очков меньше 6.
Ответ
округлите до сотых.
Свойство вероятности противоположных событий
Напомним:
События А и В называются противоположными, если всякое наступление события А означает ненаступление события В.
Обозначение:
А - событие А
_
А - событие противоположное
событию А (читается «не A»).
Сумма вероятностей противоположных
событий равна :
_
Р(А) + Р(А) = 1
Задача №5
В случайном эксперименте бросают
две игральные кости.
Найдите вероятность того, что сумма
выпавших очков больше 6.
Ответ
округлите до сотых.
Решение задачи №5
Событие А : « Выпала сумма большая шести»
_
Событие А : « выпала сумма меньшая шести»
Воспользуемся результатом предыдущей задачи:
вероятность выпадения суммы меньшей
шести равна
Тогда:
Напомним:
Два события называются несовместными в данном испытании, если появление одного из них исключает появление другого, и совместными в противном случае.
Пример:
В мешке находятся 15 шаров: 7 белых, 5 красных и
3 зеленых. Наугад вынимают один шар.
А – шар оказался красным,
В –шар оказался зеленым.
Очевидно: А и В –несовместны.
С – шар оказался не белым (т.е красным или зеленым)
Как связана вероятность события С с вероятностями
cобытий А и В.
Очевидно, что:
Правило сложения вероятностей:
Вероятность суммы двух несовместных событий
равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Задача №6
На учениях летчик получил задание уничтожить три склада боеприпасов. На борту самолета одна бомба.
Вероятность попадания в первый склад 0,1,
Во второй - 0,15,
в третий – 0,2.
Любое попадание в результате детонации
Вызывает взрыв остальных складов.
Найти вероятность того, что склады будут уничтожены.
Решение задачи №5:
А –попадание в первый склад Р(А) = 0,1
В- попадание во второй склад Р(В)= 0,15
С- попадание в третий склад Р(С) =0,2
События А, В и С – несовместны.
D- уничтожение складов
По правилу сложения вероятностей:
Р(D)=Р(А)+Р(В)+Р(С)=0,1+0,15+0,2 =0,45
Независимые события -если наступление одного не влияет на наступление другого.
Например:
В одном мешке находятся 10 шариков, из которых
3 зеленых, а в другом
15 шариков, из которых
7 зеленых. Из каждого мешка наугад вытаскивают по одному шарику. Какова вероятность того, что оба шарика окажутся зелеными?
Решение:
А- из первого мешка вынимают зеленый шарик.
В- из второго мешка вынимают зеленый шарик.
События А и В – независимы.
Для события А благоприятны 3 исхода из 10, т. е
Для события В благоприятны 7 исходов из 15, т. е
Событие С- состоит из совместного появления событий А и В.
Общее число исходов события С равно 10•15.
Благоприятных исходов 3• 7.
Значит:
Правило умножения
вероятностей
Правило умножения вероятностей:
Если событие С означает
совместное наступление двух независимых событий событий А и В, то вероятность вероятность события С равна произведению вероятностей события А на событие В.
Задача №6
Бросают две игральные кости. Какова вероятность появления на его первой кости четного числа очков, а на второй трех очков?
Решение задачи 6:
А- появление на первой кости четного числа очков
В -появление на второй кости трех очков
С- появление на первой кости четного числа очков, а на второй кости нечетного.
С состоит в совместном появлении независимых событий А и В.
Самостоятельная работа:
Вариант 1
1. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того,
что выпало не более 4 очков?
2. Ира дважды бросает игральный кубик. В сумме у неё выпало 9 очков.
Найдите вероятность того, что при одном из бросков выпало 5 очков.
Вариант 2
1. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того,
что выпало менее 4 очков?
2.Игорь дважды бросает игральный кубик. В сумме у него выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков выпало 1 очко.
Ответьте на вопросы:
Какие события называют несовместными?
Правило сложения вероятностей.
Свойство вероятностей противоположных событий.
Какие события называются независимыми?
Правило умножения вероятностей.