Презентация - "Векторы и действия над векторами"

Векторные величины и действия над векторами
Презентацию подготовил
Учитель физики
Усманов Шамиль Нуруллович

Чем векторные величины отличаются от скалярных?
Векторные величины имеют как направление, так и численное значение.
– вектор силы;
Скалярные величины имеют только численное значение.
m – масса;t – время;
L – путь; ρ - плотность

Скаляр в физике – это не просто число, а число, снабженное размерностью.
m=3 кг;
Можно ли сложить 220 вольт и 3 килограмма?
Мы имеем право складывать лишь те скаляры, которые обладают одинаковой размерностью (массу с массой, напряжение с напряжением).

Векторная величина в физике также обладает размерностью. Размерность вектора – это размерность его модуля.
Направление стрелки указывает направление данного вектора, а длина стрелки в подходящем масштабе есть модуль этого вектора.

A
B
Вектор – это направленный отрезок.
A – начало вектора; B – конец вектора.
Вектор, начало и конец которого совпадают называется нулевым вектором. Длина нулевого вектора равна нулю.

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых.

Если их направления совпадают, то векторы называются сонаправленными; если же их направления различны, то векторы называются противоположно направленными.

Два вектора называются равными, если они сонаправлены и имеют равные модули.

Сонаправленные векторы
Противоположно направленные векторы:

Равные векторы
Мы можем переносить вектор параллельно самому себе, и при этом получится вектор, равный исходному.

Сложение векторов
Правило треугольника. Помещаем начало вектора
в конец вектора . Тогда вектор соединяет начало вектора с концом вектора .

Правило параллелограмма. Помещаем начала векторов и в одну точку. Тогда вектор , имея начало в той же точке, является диагональю параллелограмма, построенного на векторах и .

Свойства сложения векторов
1. Коммутативность:
2. Ассоциативность:
3. Прибавление нулевого вектора:
4. Прибавление противоположного вектора:

Вычитание векторов
Приводим векторы к одному началу.
Соединяем концы векторов и «укалываем» тот вектор, из которого производится вычитание.

Умножение вектора на скаляр
2)
<

Свойства умножения вектора на скаляр
2.
3.
1.
4.

Угол между векторами – это угол между их направлениями.
ϕ
ϕ
Угол между векторами может принимать значение от 0 до 180⁰.

x
α
β
Угол между вектором и осью – это угол между их направлениями.
Острый угол
Тупой угол

x
Проекция вектора на ось
A
B
ax

x
Каковы знаки проекций данных векторов на координатную ось x?
A
B
ax>0
ϕ
C
D
bx<0
ϕ
Cx=0

A
B
ax
ϕ
x
x1, x2 – координаты начала и конца вектора a.
Проекция вектора на ось X:

Свойства проектирования вектора на ось
x
x1
x2
x3

x
ax
2ax

Почему важно научиться делать проекции векторов на координатные оси?
Операции проектирования обеспечивают переход от векторных равенств к скалярным.

X
Y
O
i
j
i
j
,
- единичные векторы (базис системы координат OXY).
ax
ay
Разложение
вектора по базису
ax, ay – координаты вектора a
A
C
B
M

Нахождение модуля вектора по его проекциям:

Скалярное произведение векторов
ϕ
Скалярное произведение векторов – это скаляр, равный произведению модулей векторов на косинус угла между ними.

Вычисление скалярного произведения в координатах: