Презентация - "Задачи с элементами исследования по теме "Теорема Пифагора""

Теорема Пифагора
Задачи с элементами исследования
Колпакова Е.Н., учитель математики
МБОУ СОШ №36, г. Курск

Задача 1
Пловец поплыл от берега реки, все время гребя в направлении по перпендикуляру к берегу (берега реки считаем параллельными). Плыл он, приближаясь к противоположному берегу со скоростью 3 км/ч. Через 5 мин он был на противоположном берегу. Узнайте, на каком расстоянии от места начала заплыва он вышел на противоположном берегу, считая скорость течения всюду равной 6 км/ч.

Решение
В С





А
Пловец приближался к противоположному берегу со скоростью 50 м/мин, следовательно, ширина реки АВ=250 м.
Скорость течения реки 100 м/мин, поэтому течение снесло его на 500м (ВС=500 м).
По теореме Пифагора находим расстояние от точки первоначального заплыва до точки выхода на противоположный берег:
АС = 250 2 + 500 2 = 250 5 ≈ 250· 2,24 = 560.
Ответ: 560 м.

Задача 2
На вершинах двух елок сидят две вороны. Высота елок равна 4м и 6м. Расстояние между ними равно 10м. на каком расстоянии от первой елки нужно положить сыр для этих ворон, что бы они находились в равных условиях, т.е. что бы расстояние от них до сыра было одинаковым?

4
6
10
В
А
С
D
E
?

Задача 3
Для крепления мачты нужно установить четыре троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой – на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?


Ответ: нет

Задача 4
Известен такой прямоугольный треугольник, у которого длины всех сторон выражаются целыми числами: это «египетский треугольник» (длины сторон: 3,4,5, 3 2 + 4 2 = 5 2 ). а) Имеются ли еще такие «целочисленные» прямоугольные треугольники? б) Укажите несколько таких треугольников.

Задача 5
На высоте BD треугольника АВС произвольно взята точка М.
Докажите, что АВ2 - ВС 2 =АМ2 - МС2 =АD2 - DC2 .

Решение
В
М


А D C
Треугольники ABD, CBD, AMD и CMD –прямоугольные.
Применим теорему Пифагора:
𝐴𝐷 2 = 𝐴𝐵 2 - 𝐵𝐷 2 = 𝐴𝑀 2 − 𝑀𝐷 2 ,
𝐷𝐶 2 = 𝐵𝐶 2 - 𝐵𝐷 2 = 𝐶𝑀 2 − 𝑀𝐷 2 .
Вычтем почленно из первого равенства второе:
𝐴𝐷 2 - 𝐷𝐶 2 = 𝐴𝐵 2 - 𝐵𝐶 2 = 𝐴𝑀 2 − 𝐶𝑀 2 .

Задача 6
В треугольнике АВС проведена высота ВD. Построены треугольники АВМ и СВN, такие, что углы А и С прямые и АМ=DC, СN =АD. Докажите, что ВМ=ВN.


В
N

А D С
М

Решение
АВ2 - ВС 2 =АМ2 - МС2 =АD2 - DC2 (задача 5).
Отсюда АВ2 + СD 2 =BC2 + AD2, или
АВ2 + AM 2 =BC2 +CN2 .
Применяя теорему Пифагора к последнему равенству, получим: ВМ 2 = ВN 2 , или ВМ = BN.

Задача 7
Доказать теорему Пифагора, пользуясь рисунком (не прибегая к алгебре).

Задача 8
Даны отрезки a, b и c. Построить отрезок
𝑎 2 +𝑏 2 − 𝑐 2 .

Решение
Сначала строим гипотенузу х прямоугольного треугольника с катетами a и b: х 2 =𝑎 2 + 𝑏 2 . Затем строим прямоугольный треугольник с гипотенузой х и катетом с. Второй катет k – искомый отрезок,
так как k = х 2 − с 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 − с 2 .

Задача 9
В прямоугольном треугольнике АВС из вершины С прямого угла проведена высота СН. Все ли правильно в следующих выкладках?
СН 2 = АС 2 − АН 2 = АВ 2 − ВС 2 − АН 2 =
=(АВ-АН)(АВ+АН) - ВС 2 = НВ 2 + 2 АН· НВ - ВС 2 = =2 АН· НВ - СН 2 . Получили СН 2 = 2 АН· НВ - СН 2 .
Отсюда СН 2 = 2 АН· НВ
А
Н
В


С

Решение
В рассуждениях все правильно

Задача 10
Все ли правильно в рассуждениях при решении задачи? В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота СН. Катет ВС на 3 больше, чем ВН, а отрезок АН равен 12. Найдите катеты АС и ВС.
Решение. Обозначим длину ВС через x. Тогда
ВН=х–3. Так как СН 2 =АН·НВ, то СН 2 =12 х−3 .
Из треугольника ВСН имеем:
х – 3=ВН= ВС 2 − СН 2 = х 2 −12 х−3 = х 2 −12х+36 = ( х−6) 2 = х – 6.
А
Н
В
С

Решение
Допущена ошибка:
Нужно ( х−6) 2 =| х – 6|. Тогда нужно рассмотреть и уравнение х – 3 = 6 – х, откуда х = 4.5.
( х−6) 2 = х – 6.

Используемая литература и ресурсы

Балк М.Б. и Балк Г. Д. Математика после уроков. Пособие для учителей. М., «Просвещение»,1971.
Семенов Е. Е. Изучаем геометрию: Кн. Для учащихся 6-8 кл. сред. шк.-М.: Просвещение, 1987.-256 с.: ил.
Цукарь А.Я. Дидактические материалы по геометрии с элементами исследования для 8 класса.- М.: Просвещение, 1999. - 80 с.:ил.- ISBN 5-09-008488-2
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%95%D0%B3%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%82%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA