Школа » Презентации » Другие презентации » Презентация по математике на тему "Метод интегрирования по - частям" (2 курс СПО)

Презентация - "Презентация по математике на тему "Метод интегрирования по - частям" (2 курс СПО)"

0
25.10.23
На нашем сайте презентаций klass-uchebnik.com вы можете бесплатно ознакомиться с полной версией презентации "Презентация по математике на тему "Метод интегрирования по - частям" (2 курс СПО)". Учебное пособие по дисциплине - Презентации / Другие презентации, от атора . Презентации нашего сайта - незаменимый инструмент для школьников, здесь они могут изучать и просматривать слайды презентаций прямо на сайте на вашем устройстве (IPhone, Android, PC) совершенно бесплатно, без необходимости регистрации и отправки СМС. Кроме того, у вас есть возможность скачать презентации на ваше устройство в формате PPT (PPTX).
Презентация по математике на тему "Метод интегрирования по - частям" (2 курс СПО) 📚 Учебники, Презентации и Подготовка к Экзаменам для Школьников на Klass-Uchebnik.com

0
0
0

Поделиться презентацией "Презентация по математике на тему "Метод интегрирования по - частям" (2 курс СПО)" в социальных сетях: 

Просмотреть и скачать презентацию на тему "Презентация по математике на тему "Метод интегрирования по - частям" (2 курс СПО)"

<br> «по частям»<br>Метод интегрирования<br>Учебная презентация по математике <br> для студентов 2 к
1 слайд


«по частям»
Метод интегрирования
Учебная презентация по математике
для студентов 2 курса СПО
ГБПОУ «Кунгурский сельскохозяйственный колледж»
Решение неопределённых интегралов

Цель: сформировать понятие метода интегрирования «по частям» и умение применять данный метод при выч
2 слайд

Цель: сформировать понятие метода интегрирования «по частям» и умение применять данный метод при вычислении интегралов

<br><br>Первообразная<br>         <br>Интегральное исчисление<br>Раздел математики, в котором изучаю
3 слайд



Первообразная

Интегральное исчисление
Раздел математики, в котором изучаются свойства
и способы вычисления интегралов
решает задачу обратную дифференцированию
И. Ньютон
Г.В. Лейбниц
Функция 𝑭 𝒙 является первообразной для функции 𝒇(𝒙) в промежутке 𝒂≤𝒙≤𝒃, если в любой точке этого промежутка её производная равна 𝒇(𝒙)
𝒅𝑭 𝒙 =𝒇 𝒙 𝒅𝒙,
𝒂≤𝒙≤𝒃,
 
 
Неопределённый интеграл
Неопределенным интегралом от 𝒇(𝒙)
называется совокупность всех первообразных вида F(x)+С
 
(x) – подынтегральная функция,
f(x)dx – подынтегральное выражение

Определённый интеграл

f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение,
a – нижний предел интегрирования
b – верхний предел интегрирования
Формула Ньютона – Лейбница
Методы вычисления
Непосредственного интегрирования
Замены переменной
«По-частям»
Основатели
математического анализа

Основными методами интегрирования являются: <br><br>непосредственное интегрирование, <br>интегрирова
4 слайд

Основными методами интегрирования являются:

непосредственное интегрирование,
интегрирование заменой переменной
Интегрирование «по - частям»

Интегрирование «по-частям»<br><br>Формула интегрирования «по- частям» имеет вид:<br>   𝑢𝑑𝑣=𝑢𝑣−   𝑣𝑑𝑢
5 слайд

Интегрирование «по-частям»

Формула интегрирования «по- частям» имеет вид:
𝑢𝑑𝑣=𝑢𝑣− 𝑣𝑑𝑢

Метод интегрирования по частям состоит в применении этой формулы

Это метод для решения интегралов от произведения двух элементарных функций

Интегрирование «по-частям»<br><br>Данный метод интегрирования основан на тождестве:<br>d(uv) = udv +
6 слайд

Интегрирование «по-частям»

Данный метод интегрирования основан на тождестве:
d(uv) = udv +vdu udv=d(uv) - vdu
где u = f(x) и v = g(x) - две функции, имеющие на данном промежутке производные
Взяв интеграл от обеих частей данного тождества, будем иметь:
𝑢𝑑𝑣= 𝑑 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢 𝑢𝑑𝑣=𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢

Интегрирование «по-частям»<br><br>   𝑢𝑑𝑣=𝑢𝑣−   𝑣𝑑𝑢  <br>Эта формула используется, если подынтегральн
7 слайд

Интегрирование «по-частям»

𝑢𝑑𝑣=𝑢𝑣− 𝑣𝑑𝑢
Эта формула используется, если подынтегральное выражение можно представить в виде произведения сомножителей u и dv и получившийся интеграл
𝑣𝑑𝑢 вычислить проще, чем исходный 𝑢 𝑑𝑣
При этом за u берется та функция, которая при дифференцировании упростится, а за dv – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен.

Интегрирование «по - частям»<br><br>   𝑢𝑑𝑣=𝑢𝑣−   𝑣𝑑𝑢  <br>Основываясь на этом разбиении,<br> находят
8 слайд

Интегрирование «по - частям»

𝑢𝑑𝑣=𝑢𝑣− 𝑣𝑑𝑢
Основываясь на этом разбиении,
находятся функция v и дифференциал du
Далее, используется формула интегрирования по частям:


Метод интегрирования по частям может применяться несколько раз, пока неопределенный интеграл не будет найден

Пример 1<br>Найти интеграл      𝑥 𝑒 𝑥   dx<br>20.12.2022<br>Решение:<br>Видим, что подынтегральная ф
9 слайд

Пример 1
Найти интеграл 𝑥 𝑒 𝑥 dx
20.12.2022
Решение:
Видим, что подынтегральная функция состоит из двух функций, одна из которых при дифференцировании становится равной единице, а другая легко интегрируется
Пусть u = x dv = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
du=dx v = 𝑒 𝑥

Подставляем найденные значения в формулу интегрирования «по - частям» и получаем

𝑥 𝑒 𝑥 dx = x 𝑒 𝑥 - 𝑒 𝑥 dx = x 𝑒 𝑥 - 𝑒 𝑥 + C


Пример 2<br>Найти интеграл <br>20.12.2022<br>Решение:<br>Здесь за u удобнее взять x, а за dv  - оста
10 слайд

Пример 2
Найти интеграл
20.12.2022
Решение:
Здесь за u удобнее взять x, а за dv - оставшуюся часть подынтегрального выражения: sinxdx
Пусть u = x dv = sin x dx
du=dx v = 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 = – cosx
Подставляем найденные значения в формулу интегрирования «по- частям» и получаем

𝑥 sin 𝑥 dx = x(- cos x)- (– cosx )dx = -x cos x+ sin x +C

𝑥 sin 𝑥 dx

Пример3<br>Найти интеграл <br>Решение:<br>Здесь за u удобнее взять  𝑥 2 , а за dv  - оставшуюся част
11 слайд

Пример3
Найти интеграл
Решение:
Здесь за u удобнее взять 𝑥 2 , а за dv - оставшуюся часть подынтегрального выражения: 𝑒 𝑥 dx
Пусть u = 𝑥 2 dv = 𝑒 𝑥 dx
du=2xdx v = 𝑒 𝑥 dx = 𝑒 𝑥
Подставляем найденные значения в формулу интегрирования «по- частям» и получаем

𝑥 2 𝑒 𝑥 dx = 𝑥 2 𝑒 𝑥 - 𝑒 𝑥 2xdx

𝑥 2 𝑒 𝑥 dx

Полученный интеграл      𝑒 𝑥  2xdx  тоже вычисляется с помощью формулы интегрирования «по – частям»
12 слайд

Полученный интеграл 𝑒 𝑥 2xdx тоже вычисляется с помощью формулы интегрирования «по – частям»
u= x dv=2 𝑒 𝑥 dx
du=dx v=2 𝑒 𝑥 dx
v = 2 𝑒 𝑥 +C
𝑒 𝑥 2xdx = 2x 𝑒 𝑥 - 2𝑒 𝑥 dx= 2x 𝑒 𝑥 -2 𝑒 𝑥 +C
Итак,

𝑥 2 𝑒 𝑥 dx = 𝑥 2 𝑒 𝑥 - 𝑒 𝑥 2xdx= 𝑥 2 𝑒 𝑥 -2x 𝑒 𝑥 +2 𝑒 𝑥 +C


du=           ∫dv=<br>u=             dv=          <br>Решить самостоятельно<br>Найти интеграл:     𝑥
13 слайд

du= ∫dv=
u= dv=
Решить самостоятельно
Найти интеграл: 𝑥+1 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥=
X+1
cosXdx
dx
= 𝑥+1 sinx− sinxd𝑥 =
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥
v =
Sinx+С
Подставим полученные значения в формулу интегрирования «по – частям» получим:
𝑥+1 sinx + cosx + C
Ответ: 𝑥+1 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥= 𝑥+1 sinx + cosx + C

  𝑥 2  2  +C<br> 𝑑𝑥  𝑥 2 +1 <br>du=           ∫dv=<br>u=             dv=          <br>Решить самосто
14 слайд

𝑥 2 2 +C
𝑑𝑥 𝑥 2 +1
du= ∫dv=
u= dv=
Решить самостоятельно
Найти интеграл: 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥𝑑𝑥=
arctgx
= 𝑥 2 2 arctgx− 𝑥 2 𝑑𝑥 2(𝑥 2 +1) =
𝑥𝑑𝑥
v =
Подставим полученные значения в формулу интегрирования «по – частям» получим:
𝑥 2 2 arctgx - 1 2 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥 2 +1 =
xdx

Решить самостоятельно<br>Ответ:    𝑥 2  2 arctgx −  𝑥 2  +  𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 2  +C<br>     𝑥 2 𝑑𝑥  𝑥 2 +1   =
15 слайд

Решить самостоятельно
Ответ: 𝑥 2 2 arctgx − 𝑥 2 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 2 +C
𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥 2 +1 = (1 - 1 𝑥 2 +1 )dx = 𝑑𝑥− 1 𝑥 2 +1 𝑑𝑥=𝑥−𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥+𝐶
= 𝑥 2 2 arctgx - 1 2 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥 2 +1 = 𝑥 2 2 arctgx - 1 2 (𝑥−𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥)+𝐶=

Вычислить интегралы методом интегрирования- «по частям»<br>20.12.2022<br>2 вариант<br><br>   𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥=
16 слайд

Вычислить интегралы методом интегрирования- «по частям»
20.12.2022
2 вариант

𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥=

2. 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥=

3. 𝑥 2 cos 𝑥 𝑑𝑥=

1 вариант

𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥=

2. 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥=

3. 𝑥 2 sin 𝑥 𝑑𝑥=








Проверка<br>2 вариант<br><br>   𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥=    𝑥 2  2  ln|x| -   𝑥 2  4  +C <br><br>2.     𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥=
17 слайд

Проверка
2 вариант

𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥= 𝑥 2 2 ln|x| - 𝑥 2 4 +C

2. 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥= −𝑥 cos 𝑥+ sin 𝑥 +C

3. 𝑥 2 cos 𝑥 𝑑𝑥= 𝑥 2 sin 𝑥 + 2x cos 𝑥 − −2 sin 𝑥 + C

1 вариант

𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥= x ln|x| – x + C

2. 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥= 𝑥 sin 𝑥+ cos 𝑥 +C

3. 𝑥 2 sin 𝑥 𝑑𝑥= – 𝑥 2 cos 𝑥 +
+2x sin 𝑥 + 2 cos 𝑥 + C




Использованная литература:<br><br>Богомолов, Н. В.  Математика. Задачи с решениями в 2 ч. Часть 1 :
18 слайд

Использованная литература:

Богомолов, Н. В.  Математика. Задачи с решениями в 2 ч. Часть 1 : учебное пособие для среднего профессионального образования / Н. В. Богомолов. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2020. — 439 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-09108-3. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт].

Комментарии (0) к презентации "Презентация по математике на тему "Метод интегрирования по - частям" (2 курс СПО)"