Презентация - "Презентация по геометрии для 10 класса "Вычисление углов""

«Вычисление углов между прямыми»

Две прямые называются пересекающимися, если они имеют единственную общую точку. Эта точка называется точкой пересечения прямых. Прямые разбиваются точкой пересечения на лучи, которые образуют четыре неразвернутых угла, среди которых две пары вертикальных углов и четыре пары смежных углов.
Если известен размер одного из углов, образованных пересекающимися прямыми, то легко определить размер остальных углов. Если один из углов прямой, то все остальные тоже прямые, а прямые перпендикулярны
Угол между прямыми - размер наименьшего из углов, образованных этими прямыми

Для вычисления угла между двумя прямыми, а также между прямой и плоскостью, удобно использовать скалярное произведение. Прежде чем рассмотреть две такие задачи на вычисление углов, введем понятие направляющего вектора прямой.

Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой а, если он лежит либо на прямой а, либо на прямой, параллельной прямой а.
Понятно, что таких векторов бесконечно много и все они коллинеарны.

Задача
Условие: найти угол между прямыми, если известны координаты направляющих векторов этих прямых.
Дано: пусть p x1; y1; z1 ,q x2; y2; z2 , направляющие векторы прямых a и b, α – угол между этими прямыми.
Найти: cos α

Будем работать с прямыми а и b. Для прямой a направляющим является вектор p, а для прямой b — вектор q.

Рассмотрим 1 случай: Если угол   между направляющими векторами острый, то он равен углу между прямыми .
Косинус угла между прямыми равен косинусу угла между направляющими векторами, то мы можем вычислить его по известной формуле косинуса угла между векторами.

Рассмотрим 2 случай:  если угол  между направляющими векторами тупой, то угол   между прямыми равен 180о – .
Во втором случае записан косинус угла смежного с углом . Косинусы смежных углов противоположны по знаку, поэтому мы получим выражение противоположное тому, которое было получено в первом случае.

Угол между прямыми всегда меньше либо равен 90о, поэтому его косинус соответственно будет являться числом неотрицательным. Тогда оба случая можно объединить в один и записать, что косинус угла между прямыми равен частному модуля скалярного произведения направляющих векторов и произведения их длин.

Формулы

10
20
30
40
50
10
20
30
40
50
10
20
30
40
50
теория
формулы
задачи

Угол между прямыми - размер наименьшего из углов, образованных этими прямыми

Что такое угол между прямыми?
ТЕОРИЯ
10

Прямые называются пересекающимися, если они имеют единственную общую точку.
Какие прямые можно назвать пересекающимися?
ТЕОРИЯ
20

Любые 2 пересекающиеся прямые образуют 4 неразвёрнутых угла
Сколько углов образуют любые две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости? Это развёрнутые или неразвёрнутые углы?
ТЕОРИЯ
30

Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой а, если он лежит либо на прямой а, либо на прямой, параллельной прямой а. Таких векторов бесконечно много и все они коллинеарны.
Что такое направляющий вектор? Укажите его особенности
ТЕОРИЯ
40

Верные утверждения- 2, 4
Найдите верное(ые) утверждение:
Если прямые являются перпендикулярными, то угол между ними в любом случае будет равен 0 градусам
Для вычисления угла между двумя прямыми удобно использовать скалярное произведение
Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы не равны
Так как косинус прямого угла равен 0, то скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0.
ТЕОРИЯ
50

ФОРМУЛЫ
10
Сумма смежных углов=180 градусов
Вертикальные углы равны
Назовите по одному свойству смежных и вертикальных углов.

ФОРМУЛЫ
20
Запишем формулы прямых(y=kx+b)
Решим систему линейных уравнений
Как найти точку пересечения прямых?

ФОРМУЛЫ
30
По какой формуле можно найти длину вектора?

ФОРМУЛЫ
40
По какой формуле можно найти скалярное произведение векторов?

ФОРМУЛЫ
50
Назовите формулу нахождения косинуса угла между прямыми?

ЗАДАЧИ
10
AB(1;6;-4)
Найдите координаты вектора АВ, если A(1;-2;3), В(2;4;-1)

ЗАДАЧИ
20
Найдите длину вектора a(4;-2;-1)

ЗАДАЧИ
30
Дано А(3; -2;4), В(-4;1;2), С(6;-3;2), D(7;-3;1). Найдите угол между прямыми AB и CD.

ЗАДАЧИ
40
Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 , AB=1, BC=2, BB1=3. Найти угол между прямыми AC и D1B.

ЗАДАЧИ
50
Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D: AB=BC=1/2AA1. Найдите угол между прямыми BD и CD1.