Презентация - "Презентация "Основы алгебры логики""

Основы алгебры
логики

Древнегреческий философ Аристотель стал
основоположником формальной логики, которая
отвлекаясь от конкретного содержания понятий
изучает общие правила построения правильных
выводов из известной информации, которая считается
истинной.
Формальная логика изучает высказывания.

Высказыванием
называется повествовательное предложение, про которое можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Например:
Клавиатура – устройство вывода. - Ложное высказывание.

Прямоугольник - это геометрическая фигура. - Истинное высказывание
NA - металл - Истинное высказывание.
Посмотрите на доску. – Не высказывание.

Например:
А = «Луна является спутником Земли.» А = 1 (истинное простое высказывание)
В = «Токио – столица Германии.»
В = 0 (ложное простое высказывание) Простые высказывания называются
логическими переменными


Любое высказывание может быть ложно (=0) или истинно (=1).
!

В математической логике высказывания обозначают большими латинскими буквами.

Пример простых высказываний:
А = Москва– столица России.
С = Береза – хвойное дерево.

Высказывание считается простым, если никакую его часть нельзя рассматривать как отдельное высказывание

Высказывание, которое можно разложить на простые высказывания называется сложным (составным).

Сложные высказывания строятся из простых с помощью логических связок:
"и",
"или",
"не",
«если …, то»,
«тогда и только тогда»
и др.

Пример сложного высказывания:
«Основоположником алгебры логики является Джордж Буль , и исследования Клода Шеннона позволили применить алгебру логики в вычислительной технике»

I. Операция – конъюнкция
(логическое умножение )
Объединение двух (или нескольких) простых высказываний в одно при помощи союза «и» называется
операцией конъюнкции (логическое умножение)
В алгебре логики конъюнкция обозначается значком «&» либо «Λ»

Высказывание вида A & B (А конъюнкция B ) истинно тогда и только тогда, когда
истинны оба высказывания и А и B
A
B
А & B
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
Таблица истинности для А & В

II. Операция – дизъюнкция
(логическое сложение)
Объединение двух (или нескольких) простых высказываний в одно при помощи союза «или» называется
операцией дизъюнкцией (логическим сложением)
В алгебре логики дизъюнкция обозначается значком «V» либо «+»

Высказывание вида A V B (А дизъюнкция B ) истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний
A
B
А V B
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
Таблица истинности для А V В

III. Операция – логическое отрицание (инверсия)
Присоединение частицы «не» к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией
В алгебре логики инверсия обозначается значком « ¬ » либо чертой над высказыванием «Ā»

Высказывание вида Ā (инверсия А) делает истинное высказывание ложным и , наоборот, ложное - истинным
А
А
1
0
0
1
Таблица истинности для Ā

Операция «исключающее или»
В алгебре логики обозначается значком ⨁
Эту операцию можно представить
А ⨁ В = ¬ А v B

IV. Операция импликация (следование)
Объединение двух высказываний с помощью оборота речи «если …, то …» называется
Импликацией (следованием)
В алгебре логики импликация обозначается значком « → »
Например: «Если все стороны прямоугольника равны, то это квадрат»

Высказывание вида A → B (А импликация B ) ложно тогда и только тогда,
когда А – истинно, а B – ложно (т.е. из истинного высказывания следует ложное)
A
B
А  B
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
Таблица истинности для А → В

V. Операция – эквивалентность (логическое равенство)
Объединение двух высказываний с помощью оборота речи
«…тогда и только тогда, когда …»
называется
операцией логического равенства или эквивалентность
В алгебре логики эквивалентность обозначается значком « ↔ »

Высказывание вида A ↔ B
(А эквивалентно B) истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны
Таблица истинности для
А ↔ В = ¬ А & ¬ В v A & B

СПАСИБО
ЗА
ВНИМАНИЕ !