Презентация - "Презентация по математике "Таинственный мир комплексных чисел""

ТАИНСТВЕННЫЙ МИР
КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Исполнитель:
Меньшикова София Львовна
ученица 11 «А» класса

Цель работы:
состоит в ознакомлении с комплексными числами, действиями над ними и составлении памятки с основными сведениями о комплексных числах.
Задачи:
Проанализировать литературу по данному вопросу;
Изучить историю возникновения комплексных чисел;
Кратко рассмотреть и привести примеры применения комплексных чисел в разных разделах науки и технике;
Дать определение комплексного числа и комплексной плоскости;
Рассмотреть формы представления комплексного числа;
Проанализировать действия над комплексными числами;
Привести примеры решения заданий в комплексных числах;
Составить памятку с основными сведениями о комплексных числах

Джераломо Кардано
Опубликовал фундаментальные труды по алгебре, теории вероятностей и механике, оказавшие огромное влияние на развитие науки. Был одним из первых математиков, оперировавших комплексными числами, хотя их смысл во многом оставался для него неясным.

Джераломо Кардано
√-а ˟ √-а = -а

Французский математик, известный формулой  
Муавра, связывающей 
комплексные числа и тригонометрию, а также своими работами по нормальному распределению и теории вероятностей.
Абрахам де Муавр

Т = Р + iС
Т - характеристика важнейших свойств товара
P -определённые потребительские характеристики
C - цена
i – мнимая единица

Жуковский Николай  Егорович
Русский учёный-механик, основоположник гидро- и аэродинамики. Методами теории функций комплексной переменной доказал основную теорему о подъемной силе крыла самолета. Позднее В. И. Ленин назвал его «отцом русской авиации». 

Комплексное число
a+bi
алгебраическая форма
тригонометрическая форма
показательная форма
геометрическая форма

Сопряженное с числом
Модулем комплексного числа
Аргумент комплексного числа

который можно выразить из
Imz


b Z(a;b)




0 a Rez
геометрическая форма
Z =a+bi

алгебраическая форма
a+bі
тригонометрическая форма
r(соs φ+ і sіn φ)

показательная форма
r𝑒іφ

Сложение



+

Вычитание



-
z1=a+bi и z2=c+di

Сложение
z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)⋅i
Вычитание
z1−z2=(a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)⋅i

Умножение




*

Деление




:
z1=a+bi и z2=c+di

z1= r1 (соs φ1 + і sіn φ1)
z2= r2 (соs φ2 + і sіn φ2)

Умножение
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
Умножение
z1 ⋅ z2=r1 ⋅ r2⋅(cos (φ1+φ2)+i sin (φ1+φ2))

Деление
z1 : z2=r1 : r2⋅(cos (φ1-φ2)+i sin (φ1-φ2))

Деление

Возведение в степень





Извлечение корня




z1= r1 (соs φ1 + і sіn φ1)
z2= r2 (соs φ2 + і sіn φ2)

Возведение в степень
Извлечение корня

Пример 1
Возвести комплексное число z=3+3i 
в степень n=7

Решение:
Воспользуемся формулой Муавра, но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.
Вычисляем значение модуля:



Найдем, чему равен аргумент:

Записываем в тригонометрическом виде:



Возводим в степень n=7 с помощью формулы Муавра:



Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности:







Ответ:

Пример 2
Найти все корни уравнения z2-z+5=0

Решение:
Найдем дискриминант уравнения:

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение
имеет два комплексно сопряженных корня. Найдем
корни уравнения:






Ответ: