Презентация - "Презентация по математике (теория вероятности) по теме "Комбинаторное правило умножения. Перестановки и факториалы"."

Комбинаторное правило умножения.
Перестановки и факториалы.
Комбинаторика – это искусство подсчета числа различных комбинаций, соединений, сочетаний, перестановок тех или иных элементов некоторых множеств.
Шредер Инесса Владимировна,
учитель математики МОУ ИТЛ №24, г.Нерюнгри
(дополнительный материал к уроку и подготовке к ГИА)

Правило умножения
Для того чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В.
Определение.
Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел обозначают n! и называют «эн факториал»:
n! = 1 ∙ a ∙ 3 ∙…∙ (n-1) ∙ n.
Дополнительный материал по теории вероятности. Шредер И.В.

Определение. Перестановкой называется множество из n элементов, записанных в определённом порядке.
Теорема о перестановках элементов конечного множества:
n различных элементов можно расставить по одному на n различных мест ровно n! способами.

Pn= n!
Дополнительный материал по теории вероятности. Шредер И.В.

Задача № 1. Из трёх различных цифр следует составить трехзначное число, в котором ни одна цифра не может повторяться более двух раз. Сколько всего таких чисел можно составить?
Задачу можно решить двумя способами: перебором вариантов и с помощью графа-дерева.
Решение.
Обозначим цифры a, b, c.
Найдем количество всех трехзначных чисел, которые начинаются с цифры a: aab, aac, aba, aca, abb, acc, abc, acb – 8 чисел.
Найдем количество всех трехзначных чисел, которые начинаются с цифры c: cca, ccb, cac, cbc, caa, cbb, cab, cba – 8 чисел.
Найдем количество всех трехзначных чисел, которые начинаются с цифры b: bba, bbc, bab, bcb, baa, bcc, bac, bca – 8 чисел.


Ответ: 24 числа.
Дополнительный материал по теории вероятности. Шредер И.В.

a
a
b
c
aa
ab
ac
b
c
aab
aac
a
b
c
aba
abb
abc
a
b
c
aca
acb
acc
Всего 8 чисел
Составим дерево возможных вариантов трехзначных чисел, где на первом месте стоит цифра a.
Составим дерево возможных вариантов для трехзначных чисел, где на первом месте стоит цифра b, получим 8 чисел и для трехзначных чисел, где на первом месте стоит цифра c, тоже 8 чисел.
Ответ: 24 числа.
Дополнительный материал по теории вероятности. Шредер И.В.

Задача №2.
Сколько среди четырёхзначных чисел, составленных из цифр 5, 6, 8, 9 (без повторений), таких, которые начинаются с цифры 9?
Решение.
На первое место можно поставить только одну цифру – 9.
На второе место можно поставить любую из трёх: 5, 6 или 8.
На третье место можно поставить любую из двух оставшихся цифр.
На четвертое место можно поставить одну оставшуюся цифру.
Используя правило умножения получаем 1∙3∙2∙1=6



Ответ: 6.
Применение правила умножения при решении задач
Дополнительный материал по теории вероятности. Шредер И.В.

Задача№3.
Найдите сумму цифр всех четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 9 (без повторения).
Решение.
Все числа состоят из одних и тех же цифр, значит сумма цифр каждого числа одинаковая и равна 1+2+3+9= 15.
Выясним сколько таких четырехзначных чисел существует.
На первое место можно поставить любую из четырех данных цифр.
На второе место любую из трёх оставшихся цифр.
На третье место любую из двух оставшихся цифр.
На четвёртое место одну оставшуюся цифру.
По правилу умножения получаем 4∙3∙2∙1=24 числа.
Сумма цифр 24 чисел составляет 24∙15=360.

Ответ: 360.
Дополнительный материал по теории вероятности. Шредер И.В.

Задача №4.
Из класса, в котором учится 14 девочек и 16 мальчиков, нужно выбрать одну девочку и одного мальчика для ведения школьного вечера. Сколькими способами это можно сделать?
Решение
Применим правило умножения:
девочку можно выбрать 14 способами,
мальчика – 16 способами,
пару мальчик – девочка – 14 ∙ 16=224 способами.


Ответ: 224.
Дополнительный материал по теории вероятности. Шредер И.В.

Задача №5.
Сколько четырёхзначных чисел можно записать, используя только цифры 0, 3, 6, 7 без повторений?
Решение
На первое место можно поставить любую
из цифр, кроме нуля.
При условии, что цифры не повторяются, на втором месте могут стоять 2 неиспользованные цифры, а на третьем и четвёртом по одной.
Ответ: 18.
Дополнительный материал по теории вероятности. Шредер И.В.
3
30
36
37
6
7
306
307
0
7
360
367
0
6
370
376
7
6
0
7
3067
6
3076
3760
3706
3607
3670
0
0
6
7
На схеме представлено дерево, если на первом месте стоит цифра 3.
Для остальных можно составить аналогичное дерево.
По правилу умножения общее количество вариантов равно
3 ∙3 ∙2 ∙1 = 18.

Задача № 6. Команда из 7 школьников участвует в конкурсе РДШ. По условиям конкурса необходимо на каждом этапе выполнять перестроение по-новому. Сколько раз во время конкурса члены команды смогут делать это без повторений?
Решение.
Предположим, что первым в строю стоит командир команды. У него имеется 7 вариантов выбора позиции.
Вторым - следующий член команды независимо выбирает позицию из 6 оставшихся.
Третьим - следующий член команды независимо выбирает позицию из 5 оставшихся. И так далее делают выбор остальные члены команды.
По правилу умножения имеем: 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ … ∙ 2 ∙ 1 =7!=5040
Ответ: 5040 раз.
Дополнительный материал по теории вероятности. Шредер И.В.

Задача №7.
Семья из шести человек купили билеты в театр: на три места в партере и три места на балконе. Сколькими способами члены семьи могут занять эти 6 мест?
Решение
Используя теорему о перестановках имеем: шесть членов семьи могут занять по одному шесть различных мест ровно 6! способами.
Pn = 6! = 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720
Ответ: 720 способов.
Дополнительный материал по теории вероятности. Шредер И.В.

Немного истории
Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход знаменитым Лейбницем. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) - всемирно известный немецкий учёный, занимался философией, математикой, физикой, организовал Берлинскую академию наук и стал её первым президентом.
В 1666 году Лейбниц опубликовал «Рассуждения о комбинаторном искусстве». В своём сочинении Лейбниц, вводя специальные символы, термины для подмножеств и операций над ними находит все k-сочетания из n элементов выводит свойства сочетаний.

Дополнительный материал по теории вероятности. Шредер И.В.

Немного истории
Кристиан Крамп, 8 июля 1760, Страсбург — 13 мая 1826, там же) — французский математик (эльзасец). Известен работами по теории чисел, геометрии, математической кристаллографии, алгебре и механике. Предложил общепринятое обозначение для факториала.
Дополнительный материал по теории вероятности. Шредер И.В.

Немного истории
Комбинаторика как наука стала развиваться в 18 веке параллельно с возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж.Кардано, Н.Тарталье (1499-1557), Г.Галилею (1564-1642) и французским ученым Б.Паскалю (1623-1662) и П.Ферма.
Дополнительный материал по теории вероятности. Шредер И.В.

Список ресурсов:
https://studwood.net/1907617/matematika_himiya_fizika/kombinatorika_istoriya_sozdaniya_teorii
https://infourok.ru/prezentaciya-po-matematike-na-temu-vvedenie-v-kombinatoriku-946762.html
https://www.peoples.ru/science/mathematics/christian_kramp/
https://urok.1sept.ru/articles/416112
https://www.timetoast.com/timelines/1bab5803-40f6-48c2-bf15-a12fa4c35bac
Дополнительный материал по теории вероятности. Шредер И.В.