Презентация - "Своя игра по заданиям ЕГЭ"

СВОЯ
ИГРА
для старших классов

Сколько единиц в двоичной записи числа 254?

7
25410 = 111111102

Укажите наименьшее число, двоичная запись которого содержит ровно четыре значащих нуля и три единицы. Ответ запишите в десятичной системе счисления.

67
Если число минимальное, то надо поставить все нули вперед, а единицы - назад. А чтобы нули были значащими, первой должна стоять единица. И получаем 1000011₂=2⁶+2¹+2⁰=64+2+1=67₁₀

Сколько единиц в двоичной записи шестнадцатеричного числа 10FA16?

7
Чтобы перевести из 16-ой СС в 2-ю СС надо вместо каждой цифры записать её код в двоичном виде из четырёх знаков: 1 = 0001, 0 = 0000, F = 1111, А = 1010. Записываем все по порядку: (первые нули первой цифры можно не писать) : 1000011111010 - это число в двоичной СС. Дальше считаем единицы. Их 7.

Дано N = 101010112, М = AD16. Найдите целое значение числа К, которое отвечает условию N < К < М. Ответ запишите в десятичной системе счисления.

172
10101011₂ = 171₁₀
AD₁₆ = 173₁₀

N<K<M
171<172<173
K=172

На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 40] и Q = [30, 50]. Отрезок A таков, что формула( (x ∈ А) → (x ∈ Q) ) \/ (x ∈ P)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Какова наибольшая возможная длина отрезка A?

10
( (x ∈ A) → (x ∈ Q) ) ∨ (x ∈ P)
в формуле повторяется элемент "x ∈", его можно опустить, получаем
(A → Q) ∨ P
Знак "→" ( импликация ) раскрывается по формуле ¬x∨y
Знак "¬" ( отрицание)
Раскроем импликацию: (¬A ∨ Q) ∨ P
Знак "∨" ("+" в математике), поэтому скобки можно не писать, смысл выражения не изменится.
¬A ∨ Q ∨ P, это всё равно истине значит ¬A ∨ Q ∨ P = 1

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А выражение
(y + 2x < A) ∨ (x > 30) ∨ (y > 20)
тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

81
Решим задачу графически. Условия (x > 30) и (y > 20) задают множество, отмеченное на рисунке закрашенной областью. Чтобы исходное выражение было тождественно истинно для любых целых и неотрицательных x и y, прямая (y + 2x < A) должна находиться правее незакрашенной области. Следовательно, она должна проходить через точки (30, 21) и (30,5, 20). Таким образом, наименьшее целое неотрицательное A равно 81.
(материалы взяты с сайта решу.егэ)

Обозначим через ДЕЛ (n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m».
Для какого наибольшего натурального числа А формула
¬ДЕЛ (x, А) → (ДЕЛ (x, 6) → ¬ДЕЛ (x, 9))
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

18
Рассмотрим случай, когда в левой части логического выражения будет 1, а в правой 0. В остальных случаях вся формула будет выдавать истину.
Чтобы выполнялся случай, когда в правой части получается 0, X должен быть равен X = 3*3*2*n (n ∈ N). Т.е. получается, что X должен быть кратен 18.
(когда X делится на 18, в правой части логического выражения будет получатся0). Следовательно, мы должны в левой части логического выражения не получать 1.Значит, ¬ДЕЛ(x, А) должно выдавать 0. Значит, ДЕЛ(x, А) должно выдавать 1. Таким образом, приходим к выводу, что A =18.

Обозначим через ДЕЛ (n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m».
Для какого наибольшего натурального числа А формула
ДЕЛ (70, A) ∧ (ДЕЛ (x, 28) → (¬ДЕЛ (x, А) → ¬ДЕЛ (x, 21)))
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?

14
Преобразуем скобку:
ДЕЛ(x, 28) → (¬ДЕЛ(x, А) → ¬ДЕЛ(x, 21)) ⇔ ¬ДЕЛ(x, 28) ∨ ДЕЛ(x, А) ∨ ¬ДЕЛ(x, 21)

Рассмотрим такие x, при которых выражение ¬ДЕЛ(x, 28) ∨ ¬ДЕЛ(x, 21) будет ложным. Это x, которые одновременно делятся без остатка на 21 и на 28. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 84.

Следовательно, необходимо подобрать такое число, которое будет являться наибольшим общим делителем для х = 70 и х = 84. Наибольшим таким А является число 14.

Для 5 букв латинского алфавита заданы их двоичные коды (для некоторых букв — из двух бит, для некоторых — из трех). Эти коды представлены в таблице:
Какой набор букв закодирован двоичной строкой 1100000100110?

110 0 01 001 10 — b a c d e

По каналу связи передаются сообщения, содержащие только семь букв: А, Б, Г, И, М, Р, Я . Для передачи используется двоичный к од, удовлетворяющий условию Фано. Кодовые слова для некоторых букв известны: А – 11, Б – 101, Я – 010. Какое наименьшее количество двоичных знаков потребуется для кодирования слова ГРАММ?

15
А=11, Б=101, Г=011, И=1001, М=001, Р=1000, Я=010

ГРАММ = 011,1000,011,001,001 = 15 знаков

(знак запятая- для разделения букв в коде)

Для кодирования букв Е, П, Н, Ч, Ь решили использовать двоичное представление чисел 0, 1, 2, 3 и 4 соответственно (с сохранением одного незначащего нуля в случае одноразрядного представления). Закодируйте последовательность букв ПЕЧЕНЬЕ таким способом и результат запишите в восьмеричной системе счисления.

23120
Е-0, П-1, Н-2, Ч-3, Ь-4. Сначала находим двоичные коды чисел (переводим эти числа из десятичной системы счисления в двоичную, там, где после перевода остается только одна цифра, впереди приписываем ноль). Таким образом, получим:
Е-00, П-01, Н-10, Ч-11, Ь-100.
Закодируем слово ПЕЧЕНЬЕ в двоичном коде: 010011001010000. Чтобы записать полученное число в восьмеричной системе счисления, выделим триады 010 011 001 010 000 и переведем каждую из них в восьмеричную запись: 2 3 1 2 0

По каналу связи передаются сообщения, содержащие только пять букв: Ш, К, О, Л, А. Для передачи используется двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Для буквы О используется кодовое слово 0; для буквы А используется кодовое слово 10.
Какова минимальная общая длина кодовых слов для всех пяти букв?
Примечание: условие Фано означает, что ни одно кодовое слово не является началом другого кодового слова.

14
Следующая буква кодового слова должна кодироваться как 110, т. к. 11 мы взять можем, но тогда для всех кодов больше 2 не будет выполнено условие Фано (т. к. они начинаются на 10 или 11 и уже будут заняты). 100 мы взять не можем, как и 101. Следующая за ней буква имеет код 1110 для выполнения условия, а последующая — 1111. Тогда длина равна 4 + 4 + 3 + 2 + 1 = 14.
 

Логическая функция F задаётся выражением:
(x ∧ ¬y) ∨ (x ∧ z).
На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F истинна.
Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.
В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала буква, соответствующая первому столбцу, затем буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.) Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

yxz
Выражение равняется 1, если хотя бы одна из двух скобок равна 1.
Первая скобка принимает 1 при двух наборах значений переменных: (1, 0, 0), (1, 0, 1).
Вторая принимает 1 также при двух наборах значений переменных: (1, 0, 1), (1, 1, 1). Два набора из четырёх совпало, в итоге имеем три набора: (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1). Из набора с единицами выводов о порядке переменных не сделать, в остальных двух x оба раза 1, y оба раза 0. Находим в таблице такие столбцы. Получаем, что нужный порядок: y, x, z.

Логическая функция F задаётся выражением (x ∧ ¬y) ∨ (y ≡ z ) ∨ w.
Дан частично заполненный фрагмент, содержащий неповторяющиеся строки таблицы истинности функции F.
Определите, какому столбцу таблицы истинности соответствует каждая из переменных x, y, z, w.
В ответе напишите буквы x, y, z, w в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала — буква, соответствующая первому столбцу; затем — буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

yxwz
(анологично с предыдущем вопросом)

Логическая функция F задаётся выражением ((x ∧ y) ∨ (y ∧ z)) ≡ ((x → w) ∧ (w → z)).
Дан частично заполненный фрагмент, содержащий неповторяющиеся строки таблицы истинности функции F.
Определите, какому столбцу таблицы истинности соответствует каждая из переменных x, y, z, w.
В ответе напишите буквы x, y, z, w в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала — буква, соответствующая первому столбцу; затем — буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

xwzy
(анологично с предыдущем вопросом)

Каждое из логических выражений F и G содержит 7 переменных. В таблицах истинности выражений F и G есть ровно 7 одинаковых строк, причём ровно в 6 из них в столбце значений стоит 0.
Сколько строк таблицы истинности для выражения F ∧ G содержит 0 в столбце значений?

127
1) логическая функция, зависящая от 7 переменных имеет: 2^7=128 (строк) - в таблице истинности.
2)   в 6-ти  cтроках F=0 и G=0   --->   F∩G=0
     в 1-ой строке F=1  и G=1   ----->    F∩G=1
 в остальных строках F и G имеет различные значения: 
(F=1 и G=0) или  (F=0 и G=1)    ---->  F∩G=0
3) из 128 строк
    всего в одной F∩G=1, в остальных F∩G=0  ---->
 128-1 =127 (в 127 строках F∩G=0)
  ответ: 127

На рисунке схема дорог изображена в виде графа, в таблице содержатся сведения о длине этих дорог в километрах.
 

Так как таблицу и схему рисовали независимо друг от друга, нумерация населённых пунктов в таблице никак не связана с буквенными обозначениями на графе. Известно, что длина дороги DE больше, чем длина дороги AB. Определите длину дороги AG. В ответе запишите целое число — длину дороги в километрах.

12

Заметим, что E — единственная вершина степени 2, связанная с двумя вершинами степени 3.Значит, E соответствует П4. Заметим, что A и B — единственные вершины степени 2, которые связаны друг с другом. Значит, A и B соответствуют П5 и П7.
 B соответствует П5, а A соответствует П7. Значит, C соответствует П3, а G соответствует П2. Тогда D соответствует П1, а F соответствует П6. Длина дороги DE равняется 15, а длина дороги AB равняется 9. Данный вариант удовлетворяет условию, длина дороги DE больше, чем длина дороги AB. Длина дороги AG — 12.

На рисунке слева изображена схема дорог Н-ского района, в таблице звёздочкой обозначено наличие дороги из одного населённого пункта в другой. Отсутствие звёздочки означает, что такой дороги нет. Определите, какие номера населённых пунктов в таблице могут соответствовать населённым пунктам В и Е на схеме. В ответе запишите
эти два номера в возрастающем порядке без пробелов и знаков препинания.
 

26
А и Д — единственные вершины степени 3, из которых идут дороги в две вершины степени 2. Значит, вершинам А и Д соответствуют пункты 4 и 7. Значит, вершинам В и Е соответствуют пункты 2 и 6.

Между населёнными пунктами А, В, С, D, Е, F построены дороги, протяжённость которых приведена в таблице. (Отсутствие числа в таблице означает, что прямой дороги между пунктами нет.)
Определите длину кратчайшего пути между пунктами А и F (при условии, что передвигаться можно только по построенным дорогам).

16
Найдём все варианты маршрутов из A в F и выберем самый короткий.
A—D—E—F: длина маршрута 16 км.

Между населёнными пунктами А, В, С, D, Е, F, Z построены дороги, протяжённость которых приведена в таблице. (Отсутствие числа в таблице означает, что прямой дороги между пунктами нет.)
Определите длину кратчайшего пути между пунктами А и Z (при условии, что передвигаться можно только по построенным дорогам).

17
A-B-C-D-E-F-Z. Длина маршрута: 4 + 1 + 5 + 4 + 1 + 2 = 17