Презентация - ""Наибольшее и наименьшее значение функции 11 класс""

Наибольшее и наименьшее
значение функции
Открытый банк заданий по математике http://mathege.ru:8080/or/ege/Main.action

наибольшее
значение
наибольшее
значение
наименьшее
значение
наименьшее
значение
a
b
a
b
Предположим, что функция f
не имеет на отрезке [а; b] критических точек.

Тогда она возрастает (рис. 1) или убывает (рис. 2) на этом отрезке.

Значит,

наибольшее и наименьшее значения функции f на отрезке [а; b] — это значения в концах а и b.
функция возрастает
функция убывает

наименьшее
значение
наибольшее
значение
наибольшее
значение
наименьшее
значение
наименьшее
значение
a
b
a
b
Пусть теперь функция f имеет на отрезке [а; b] конечное число критических точек.

Наибольшее и наименьшее значения функция f может принимать в критических точках функции или в точках а и b.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.
Примеры
c
n
c
наибольшее
значение

Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]
1.
Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
Выбрать наименьшее из полученных значений.
Значения функции в концах отрезка.
1) y(0) = 0
y(4) = 43– 27 4 = – 44
2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)
x = 3
[0; 4]
x = –3
[0; 4]
y(3) = 33– 27 3 = –54
3
х
1
0
х
В 11
-
5
4
Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.
3
-3

Найдите наименьшее значение функции
y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]
1) y / = 3x2 – 27
2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)
3
-3
x = 3
[0; 4]
x = –3
[0; 4]
y(4) = 43– 27 4 = – 44
y(3) = 33– 27 3 = –54
3
х
1
0
х
В 11
-
5
4
3) y(0) = 0
Выполнение этапов решения можно изменить, как вам удобно.

наибольшее
значение
наименьшее
значение
a
b
a
b
Предположим, что функция f
имеет на отрезке [а; b] одну точку экстремума.



Если это точка минимума, то в этой точке функция будет принимать наименьшее значение.





Если это точка максимума, то в этой точке функция будет принимать наибольшее значение.

Найдите наименьшее значение функции
y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]
1) y / = 3x2 – 27
2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)
3
-3
y(3) = 33– 27 3 = –54
3
х
1
0
х
В 11
-
5
4
3)
Другой способ решения
+
+
–
x
y\
y
-3
3
0
4
min
Наименьшее значение функция будет принимать в точке минимума.
Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка.
Этот способ будет удобно
вспомнить, когда вычисления значений функции в концах отрезка будет сложным.

x = –1
[-2; 0]
Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
Выбрать наибольшее из полученных значений.
Значения функции в концах отрезка.
1) y(0) = 4
y(-2) = (-2)3– 3 (-2) +4 = 2
2) y / = 3x2 – 3 = 3(x2 – 1) = 3(x – 1)(x + 1)
x = 1
[-2; 0]
y(-1) = (-1)3– 3 (-1) + 4 = 6
3
х
1
0
х
В 11
6
Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.
1
-1
Найдите наибольшее значение функции y = x3 – 3x + 4
на отрезке [– 2; 0]
2.

Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
Выбрать наименьшее из полученных значений.
Значения функции в концах отрезка.
1) y(1) = 1 – 2 + 1 + 3 = 3
y(4) = 43– 2 42 + 4 + 3 = 39
2) y / = 3x2 – 4x + 1=
[1; 4]
y(1) = 3
3
х
1
0
х
В 11
3
Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.
Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 2x2 + x +3
на отрезке [ 1; 4 ]
3.
3x2 – 4x + 1 = 0
D=16–4*3*1=4
x2=
4-2
6
=
3
1
[1; 4]
3
1
3(x – 1)(x – )
6
x1=
4+2
= 1

Найдите наибольшее значение функции
на отрезке [ -3; 3 ]
4.
x = –3
[-3; 3]
Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
Выбрать наибольшее из
полученных значений.
Значения функции в концах отрезка.
x = 3
[-3; 3]
y(-3) = 11
3
х
1
0
х
В 11
1
1
Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.
y(-3) = -25

Найдите наибольшее значение функции
на отрезке [ 1; 9 ]
5.
Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
Выбрать наибольшее из
полученных значений.
Значения функции в концах отрезка.
3
х
1
0
х
В 11
1
Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.
[1; 9]
2

Найдите наименьшее значение функции
на отрезке [ 1; 9 ]
6.
Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
Выбрать наименьшее из
полученных значений.
Значения функции в концах отрезка.
3
х
1
0
х
В 11
-
3
Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.
[1; 9]
2





Запишем функцию в удобном для дифференцирования виде

Найдите наименьшее значение функции
на отрезке [-10; 1 ]
7.
Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
Выбрать наименьшее из
полученных значений.
Значения функции в концах отрезка.
3
х
1
0
х
В 11
5
,
-
1
2
Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.






Запишем функцию в удобном для дифференцирования виде
x = –5
[-10; 1]
x = 5
[-10; 1]
x = 0
D(y)
x = 0
D(y):
2
/
1
1
х
х
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ

Найдите наименьшее значение функции
на отрезке [-10; 1 ]
7.
Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
Выбрать наименьшее из
полученных значений.
Значения функции в концах отрезка.
3
х
1
0
х
В 11
5
,
-
1
2
Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.
x = 0
D(y):
Можно решить задание, применив формулу:
2
/
/
/
v
uv
v
u
v
u
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ

Найдите наибольшее значение функции
на отрезке [ 1; 9 ]
8.
Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
Выбрать наибольшее из
полученных значений.
Значения функции в концах отрезка.
3
х
1
0
х
В 11
3
7
Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.
Запишем функцию в удобном для дифференцирования виде
x = –6
[ 1; 9]
x = 6
[ 1; 9]
x = 0
D(y)
x = 0
D(y):
2
/
1
1
х
х
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ

Найдите наибольшее значение функции
на отрезке [ 3; 10 ]
9.
Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
Выбрать наибольшее из
полученных значений.
Значения функции в концах отрезка.
3
х
1
0
х
В 11
1
Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.
x = 7
[ 3; 10]
(
)
/
/
/
uv
v
u
uv
+
=
1). Первое число меньше 1, т.к. знаменатель e4 > 5.
2). Второе число – отрицательноe.
3). Значит, наибольшее число 1.
7
1

Найдите наименьшее значение функции
на отрезке [ 1; 7 ]
10.
Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
Выбрать наименьшее из
полученных значений.
Значения функции в концах отрезка.
3
х
1
0
х
В 11
-
4
Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.
x = 2
[ 1; 7]
(
)
/
/
/
uv
v
u
uv
+
=
Наименьшее число – 4, т.к. первые два положительные.
x = 8
[ 1; 7]
8
2
1

–

+
x
y\
y
-5
-4
–

+
Найдите наибольшее значение функции
y = ln(x+5)5 – 5x на отрезке [-4,5; 0]
3
х
1
0
х
В 11
2
0
11.
-4,5
0
max
Наибольшее значение функция будет принимать в точке максимума.
Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка.
(
)
/
1
lnx
=
x
y = 5ln(x+5) – 5x
1. Найти f /(x)
2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
3. Вычислить значения функции в критических точках
и на концах отрезка.
4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее или наибольшее.
x = -4
[-4,5; 0]
0
Можно рассуждать иначе
Запишем функцию в удобном для дифференцирования виде

Найдите наибольшее значение функции

y = ln(11x) – 11x + 9 на отрезке
3
х
1
0
х
В 11
8
12.
max
Наибольшее значение функция будет принимать в точке максимума.
Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка.
(
)
/
1
lnx
=
x
1. Найти f /(x)
2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
–
+
x
y\
y
1
11
5
22
1
22
[ ; ]
1
22
5
22
1
11
x =
[ ; ]
1
22
5
22
0

Найдите наименьшее значение функции

y = 2х2 – 5x + lnx – 3 на отрезке
3
х
1
0
х
В 11
-
6
13.
min
Наименьшее значение функция будет принимать в точке минимума.
Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка.
(
)
/
1
lnx
=
x
1. Найти f /(x)
2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
–
+
x
y\
y
1
7
6
5
6
[ ; ]
5
6
7
6
x = 1
[ ; ]
5
6
7
6
0

Найдите наибольшее значение функции


y = 7cosx +16x – 2 на отрезке
3
х
1
0
х
В 11
5
14.
Функция на всей области определения возрастает. Нетрудно догадаться, что у / > 0.
Тогда наибольшее значение функция будет иметь в правом конце отрезка, т.е. в точке х=0.
1. Найти f /(x)
2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
(
)
/
cosx
=
– sinx
Если вы не догадались, то вычислите значения функции в каждом конце отрезка и выберите наибольшее.
0

Критических точек нет.
Тогда наибольшее значение функция будет принимать в одном из концов отрезка.
Можно было и раньше догадаться, что наибольшее значение будет именно в левом конце отрезка! Как?

6
5
sin
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
p
6
sin
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
p
p
3
х
1
0
х
В 11
3
2
Найдите наибольшее значение функции


y = 10sinx – x + 7 на отрезке
15.
1. Найти f /(x)
2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
(
)
/
sinx
=
cosx
0
36
2
1
-
6
sin
=
-
=
p
6
5
sin
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
p
Формула приведения
Синус –нечетная функция

Функция на всей области определения убывает. Нетрудно догадаться, что у / < 0.
Тогда наименьшее значение функция будет иметь в правом конце отрезка, т.е. в точке х=0.
3
х
1
0
х
В 11
9
Найдите наименьшее значение функции


y = 5cosx – 6x + 4 на отрезке
16.
1. Найти f /(x)
2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
(
)
/
cosx
=
– sinx
1
0
Если вы не догадались, то вычислите значения функции в каждом конце отрезка и выберите наименьшее.

3
х
1
0
х
В 11
1
2
Найдите наибольшее значение функции

y = 12cosx + 6 x – 2 + 6 на отрезке
17.
1. Найти f /(x)
2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
Но нам не нужны ВСЕ стационарные точки. Необходимо сделать выбор тех значений, которые попадут в заданный отрезок

3
х
1
0
х
В 11
1
2
Найдите наибольшее значение функции

y = 12cosx + 6 x – 2 + 6 на отрезке
17.
1. Найти f /(x)
2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
Убедимся, что данная точка является точкой максимума на заданном промежутке.
Значит, наибольшее значение функция достигает именно в этой точке.
Тогда значения функции в концах отрезка можно не считать.
–
+
3
x
y\
y
2
0
Можно рассуждать иначе
max

3
х
1
0
х
В 11
4
Найдите наименьшее значение функции

y = 11 + – х – cosx на отрезке
18.
1. Найти f /(x)
2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
Но нам не нужны ВСЕ стационарные точки. Необходимо сделать выбор тех значений, которые попадут в заданный отрезок
Можно убедиться, что данная точка является точкой минимума на заданном промежутке.
Значит, наименьшее значение функция достигает именно в этой точке.
Тогда значения функции в концах отрезка можно не считать.
+
–
6
x
y\
y
2
0
min

3
х
1
0
х
В 11
1
Найдите наименьшее значение функции

y = 4tgx – 4x – 4 + 5 на отрезке
19.
1. Найти f /(x)
2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
Нам не нужны ВСЕ стационарные точки. Необходимо сделать выбор тех значений, которые попадут в заданный отрезок
(
)
/
tgx
=
cos2x
1
0
3. Вычислим значения функции в критических точках
и на концах отрезка.
4. Из вычисленных значений сделаем выбор наименьшего.

3
х
1
0
х
В 11
5
Найдите наибольшее значение функции

y = 3tgx – 3x + 5 на отрезке
20.
1. Найти f /(x)
2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
Нам не нужны ВСЕ стационарные точки. Необходимо сделать выбор тех значений, которые попадут в заданный отрезок
(
)
/
tgx
=
cos2x
1
0

3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка.
4. Из вычисленных значений сделаем выбор наибольшего.
-1
0

Решая задания на наибольшее и наименьшее значение функции, я применяла различные способы. Если вы решаете задания своим способом и всегда попадаете в правильный ответ, не стоит переучиваться.
При использовании материалов сайта необходимо сделать ссылку на сайт http://le-savchen.ucoz.ru