Презентация - "Показательная и логарифмическая функции 11 класс"

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс.
Урок на тему:
Показательная функция.
Определение. Свойства.
График.

Показательная функция.
Ребята, мы переходим к изучению новой темы, правда стоит отметить, что она тесно связана с нашей предыдущей темой степенных функций и корней n-ой степени.
Сегодня, мы с вами будем изучать показательные функции, эта функции вот такого вида:



Правда, давайте отметим, что до этого мы рассматривали некое подобие таких функций, x всегда было рациональным числом, как же быть в случае иррационального числа.

Показательная функция.
Определение.
Пусть а>1 и α=а,а1а2а3а4…аn… - положительное иррациональное число (бесконечная десятичная не периодичная дробь). Тогда последовательность десятичных приближений числа α вот такая:
α1= а,а1; α2= а,а1a2; α3= а,а1a2a3… αn= а,а1a2a3…an
Тогда предел последовательности

обозначают как - степень с иррациональным показателем.
Если а>1и α<0 – иррациональное число, то



Если 0<a<1, то

Показательная функция.
Степени с произвольным действительным показателем обладают теми же свойствами, что и привычные нам степени, которые мы изучали раньше:










Ребята, очередная небольшая памятка для вас!

Показательная функция.
Ребята, давайте теперь построим график функции


Составим таблицу значений:





Построим график
функции по точкам:

Показательная функция.
Свойства функции:
1. D(f)=(-∞;+∞)
2. Не является ни четной,
ни нечетной.
3. Возрастает на всей области определения.
4. Не ограничена сверху,
ограничена снизу.
5. Наибольшего значения нет, наименьшего значения нет.
6. Непрерывна.
7. E(f)=(0; +∞).
8. Выпукла вниз.

Такими же свойствами обладает любая функция

Показательная функция.
Рассмотрим функцию вида:


Так же построим ее график по точкам:

Показательная функция.
Свойства функции:
1. D(f)=(-∞;+∞)
2. Не является ни четной,
ни нечетной.
3. Убывает на всей области определения.
4. Не ограничена сверху,
ограничена снизу.
5. Наибольшего значения нет, наименьшего значения нет.
6. Непрерывна.
7. E(f)=(0; +∞).
8. Выпукла вниз.

Такими же свойствами обладает любая функция

Показательная функция.
Мы рассмотрели два примера показательных функций, теперь давайте введем общее определение для показательных функций:
Определение. Функцию вида


называют показательной функцией.

Основные свойства показательных функций:

Показательная функция.
Построим два графика в общем виде:
График нашей функции всегда будет проходить через точку (1;a), если a>1 или через точку (-1;a) если 0<a<1.
Ось абсцисс является горизонтальной асимптотой нашего графика.

Показательная функция.
Пример. Решить уравнения и неравенства:
а) б) в) г) д)
Решение. Воспользуемся графическим методом решения:
а) Построим на одной координатной плоскости прямые

Наши графики пересекаются в одной точке (0;1), что означает единственность решения. х=0.
б) Построим на одной координатной плоскости прямые

Наши графики пересекаются в одной точке (2;9), что означает единственность решения. х=2.
в) Очевидно, что наше уравнение так же имеет один корень. Мы можем и не строить графики функции.

г) График функции расположен выше прямой y=1 при х>0, это и есть решение нашего неравенства, посмотрите на график и убедитесь в этом.
д) График функции расположен ниже прямой y=9 при х<2, это и есть решение нашего неравенства, посмотрите на график и убедитесь в этом.
Графики наших функций на следующем слайде.

Показательная функция.
Графики наших функций:











Теорема1. Если a>1, то равенство выполняется тогда и только тогда, когда x=y
Теорема2. Если a>1, то неравенство выполняется тогда и только тогда, когда x>0. Неравенство выполняется тогда и только тогда, когда x<0.
Примеры, рассмотренные выше, хорошо показывают верность наших теорем.

Показательная функция.
Пример. Решить уравнения и неравенства:
а) б) в) г) д)

Решение. Воспользуемся графическим методом решения:
а) Построим на одной координатной плоскости прямые

Наши графики пересекаются в одной точке (0;1), что означает единственность решения. х=0.
б) Построим на одной координатной плоскости прямые

Наши графики пересекаются в одной точке (-1;3), что означает единственность решения. х=-1.
в) Очевидно, что наше уравнение так же имеет один корень. Мы можем и не строить графики функции.

г) График функции расположен выше прямой y=1 при х<0, это и есть решение нашего неравенства, посмотрите на график и убедитесь в этом.
д) График функции расположен ниже прямой y=9 при х>-2, это и есть решение нашего неравенства, посмотрите на график и убедитесь в этом.
Графики наших функций на следующем слайде.

Показательная функция.
Графики наших функций:











Теорема3. Если 0<a<1, то равенство выполняется тогда и только тогда, когда x=y
Теорема4. Если 0<a<1, то неравенство выполняется тогда и только тогда, когда x<0. Неравенство выполняется тогда и только тогда, когда x>0.
Примеры, рассмотренные выше, хорошо показывают верность наших теорем.

Показательная функция.
Пример.
Построить график функции
и найти наибольшее, наименьшее значение на отрезке [-2;2].
Решение.

График исходной функции получается из графика функции смещением его на 3 единицы вверх.





Так как наша функция монотонная, то она достигает своего наибольшего и наименьшего значения на концах заданного отрезка.

Показательная функция.
Пример. Решить уравнения и неравенства:
а)б)в)
Решение.
Построим два графика функций на одной координатной плоскости:






а)Наши функции пересекаются в точке (1;4) – это и будет единственным решением, так как показательная функция возрастает, а линейная убывает, а мы знаем, что в таком случае решение единственно.

б) Посмотрим на наши графики, и найдем промежуток, на котором показательная функция ниже линейной: x<1.

в) Посмотрим на наши графики, и найдем промежуток, на котором показательная функция выше линейной: x≥1.

Ответ: а) x=1 б) x<1 в) x≥1

Показательная функция.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Решить уравнения и неравенства:
а) б) в) г) д)

2. Решить уравнения и неравенства:
а) б) в) г) д)

3. Построить график функции

и найти наибольшее, наименьшее значение на отрезке [-3;3].

4. Решить уравнения и неравенства:
а)
б)
в)