Презентация - "Презентация "Палиндромы в математике""

МБОУ «Горхонская СОШ №73»

Тема: «Палиндромы в математике»

Автор: ученица 7 класса
Иванова Вероника
Руководитель: учитель математики
Максимова Наталья Павловна

Актуальность выбора темы
Числа палиндромы образуют одно из наиболее интересных подмножеств множества натуральных чисел. Они обладают необычной историей, удивительными свойствами.

Результаты опроса:

Результаты опроса показали, что в большинстве учащиеся хотят знать больше о числах палиндромах. 

Гипотеза:
Простые числа – это часть чисел, из которых состоят все натуральные числа. Исследуя множество простых чисел, можно получить удивительные числовые множества с их необыкновенными свойствами.
Цель исследования:
Изучить свойства особенных чисел - палиндромов и научиться решать с их помощью некоторые математические задачи на смекалку олимпиадного характера. Составить сборник палиндромов.

Палиндромы
«А роза упала на лапу Азора»
ШАЛАШ
РАДАР
ТОПОТ
КОК
КАЗАК

Числовые палиндромы -
это натуральные числа, которые одинаково читаются справа налево и слева направо. Иначе говоря, отличаются симметрией записи (расположения цифр), причём число знаков может быть как чётным, так и нечётным.

121; 676; 1331; 4884; 94949; 1177711; 1178711

Алгоритм получения палиндрома
1.Возьмем любое двузначное число
2.Перевернем его (переставь цифры справа налево)
3.Найдем их сумму
4. Перевернем полученное число
5.Найдем их сумму
6.Повторяйте аналогичные действия до тех пор, пока не получится палиндром
Пример: 96 96 + 69 = 165
165 + 561 = 726
726 + 627 = 1353
1353 + 3531 = 4884

Свойства палиндромов
Существует единственный простой палиндром с чётным числом цифр – 11.
Первой и последней цифрами любого простого палиндрома могут быть только 1; 3; 7 или 9. Например: 13 и 31; 17 и 71; 37 и 73; 79 и 97
  Среди простых трёхзначных палиндромов встречаются пары чисел, у которых средняя цифра отличается всего на 1.  Например: 181 и 191; 373 и 383; 787 и 797; 919 и 929  
Аналогичная картина наблюдается у больших простых чисел.  Например: 94849 и 94949; 1177711 и 1178711  

Свойства палиндромов
5.Все однозначные числа являются палиндромами. 26 – наименьшее число, не являющееся палиндромом, квадрат которого палиндром: 26² = 676 А вот пары чисел - «перевёртышей» 13 — 31 и 113 — 311 при возведении в квадрат дают также пары «перевёртышей»: 169 — 961 и 12769 — 96721. Любопытно, что даже суммы их цифр, оказались, связаны хитрым образом: (1 + 3)2 = 1 + 6 + 9, (1 + 1 + 3)2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.

Из простых чисел - палиндромов, располагая их определённым образом, скажем построчно, можно составить симметричные фигуры, отличающиеся оригинальным рисунком из повторяющихся цифр.

Формулы – палиндромы
Под формулами – палиндромами понимают выражение, состоящее из суммы или разности, произведения или частного чисел, результат которого не меняется в результате прочтения выражения справа налево. Например: 42 + 35 = 53 + 24 41 – 32 = 23 – 14 63 ∙ 48 = 84 ∙ 36 82 : 41 = 28 : 14

Задача 1.
Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их сложения не менялся в результате прочтения суммы справа налево, т.е. x1y1 + x2y2 = y2x2 + y1x1.

Решение: представим наши числа в виде суммы разрядных слагаемых:
(10х1 + у1) + (10х2 + у2) = (10у2 + х2) + (10у1 + х1)
10х1 + у1 + 10х2 + у2 = 10у2 + х2 +10у1 + х1
10х1 - х1 + 10х2 - х2 = 10у1 - у1 + 10у2 - у2
9х1 + 9х2 = 9у1 + 9у2
9(х1 + х2) = 9(у1 + у2)
х1 + х2 = у1 + у2.
Вывод: Для решения этой задачи сумма первых цифр должна быть равна сумме их вторых цифр, т.е. х1 + х2 = у1 + у2.
Примеры: 76 + 34 = 43 + 67 25 + 63 = 36 + 52

Задача 2 .
Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их вычитания не менялся в результате прочтения разности справа налево, т.е. x1y1 - x2y2 = y2x2 - y1x1

Решение : представим наши числа в виде суммы разрядных слагаемых:
(10х1 + у1) – (10х2 + у2) = (10у2 + х2) – (10у1 + х1)
10х1 + у1 – 10х2 - у2 = 10у2 + х2 – 10у1 - х1
10х1 + х1 + у1 + 10у1 = 10у2 + у2 + 10х2 + х2
11 х1 + 11 у1 = 11х2 + 11у2
11(х1 + у1) = 11(х2 + у2)
х1 + у1 = х2 + у2
Вывод: Для решения этой задачи у таких чисел должны быть равны суммы цифр, т.е. х1 + у1 = х2 + у2
Примеры: 46 – 28 = 82 – 64 52 –16 = 61 – 25    

Задача 3.
Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их деления не менялся в результате прочтения частного справа налево, т.е. x1y1 ∙ x2y2 = y2x2 ∙ y1x1
Решение : представим наши числа в виде суммы разрядных слагаемых:
(10х1 + у1) ∙ (10х2 + у2) = (10у2 + х2) ∙ (10у1 + х1)
100х1∙х2 + 10х1∙у2 + 10у1∙х2 + у1∙у2 = 100у1∙у2 + 10х1∙у2 + 10у1∙х2 + х1∙х2
99х1∙х2 = 99у1∙у2
х1∙х2 = у1∙у2
Вывод: Для решения этой задачи произведение первых цифр чисел равно произведению их вторых цифр, т.е. х1∙х2 = у1∙у2  
Примеры: 82 ∙ 14 = 41 ∙ 28 46 ∙ 32 = 23 ∙ 64

Задача 4.
Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их деления не менялся в результате прочтения чисел справа налево. 
Для решения этой задачи произведение первой цифры первого числа на вторую цифру второго числа равно произведению двух других их цифр, т.е. x1 ∙ y2 = x2 ∙ y1

  Примеры: 82 : 41 = 28 : 14
62 : 31 = 26 : 13  

Практическая часть
Задача 1.
Приведите примеры того, как при помощи одних палиндромов получаются другие: Решение:
а) 212² - 121² = 44944 – 14641 = 30303;
б) 2·121·10201 = 2·11² ·101² = 22·112211 = 1111· 2222 = 2468642.

Примеры палиндромов в русском языке:
Утречко летело к черту
Я ем змея
Я нем и нежен, не жени меня
Нам рак влетел в карман
Цени в себе свинец

Примеры палиндромов
Магический квадрат
Древнейший из сохранившихся палиндромов написан на латыни и датируется 4 в. н.э. Это фраза "Sator Arepo tenet opera rotas", что означает "Сеятель Арепо с трудом держит колёса".

Примеры палиндромов
В химии: НООССООН – формула щавелевой кислоты
В биологии: Палиндромы в ДНК

Примеры палиндромов В изобразительном искусстве:

Заключение
Я познакомилась с удивительными натуральными числами - палиндронами. Все они обязаны своими свойствами простым числам. Значит, я подтвердила гипотезу о том, что простые числа – это часть чисел, из которых состоят все натуральные числа. Изготовила сборник палиндромов.

Всем спасибо за внимание!
1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321 
Числовой палиндром из единиц
Это интересно - Красота математики