Презентация - "Презентация по математике по теме "Комплексные числа" (10 класс)"

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и арифметические операции над ними
Учебник: А.Г.Мордкович. П.В. Семенов. 10 класс. Алгебра и начала математического анализа.
Подготовила: Урывская Н.В.

Какие числовые множества Вам знакомы?
N- ”natural”
Z – исключительная роль нуля “zero”
Q – “quotient” отношение ( т.к. рациональные числа – m/n)
R- “real”
N
Z
Q
R

Сложение, умножение
Вычитание, деление, извлечение корней
Сложение, вычитание, умножение
Сложение, вычитание, умножение
Сложение, вычитание, умножение, деление
Извлечение корней из неотрицательных чисел

Извлечение корней из неотрицательных чисел

Извлечение корней из произвольных чисел
Все операции

Комплексные числа, C

     "Комплексными числами и функциями комплексного переменного математики пользовались в своих исследованиях уже в XVIII в. Особенно велики заслуги крупнейшего математика XVIII в. Леонарда Эйлера (1707—1783), который по праву считается одним из творцов теории функций комплексного переменного. В замечательных работах Эйлера детально изучены элементарные функции комплексного переменного.
      После Эйлера открытые им результаты и методы развивались, совершенствовались и систематизировались, и в первой половине XIX в. теория функций комплексного переменного оформилась как важнейшая отрасль математического анализа. "Первое упоминание о «мнимых» числах как о корнях квадратных и» отрицательных чисел относится еще к XVI в. (Дж. К а р д а н о, 1545). До середины XVIII в. комплексные числа появляются лишь эпизодически в трудах отдельных математиков (И. Ньютон, Н. Бернулли, А. Клеро). Первое изложение теории комплексных чисел на русском языке принадлежит Л. Эйлеру («Алгебра», Петербург, 1763, позднее книга была переведена на иностранные языки и многократно переиздавалась): символ «i» также введен Л. Эйлером. Геометрическая интерпретация комплексных чисел относится к концу XVIII в. (датчанин Каспар Вессель, 1799 г.)."

Минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа:
Существует квадратный корень из , т.е. существует комплексное число, квадрат которого равен -1 .

2) Множество комплексных чисел содержит все действительные числа.

3) Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законам арифметических действий (сочетательному, переместительному, распределительному).

Выполнение этих минимальных условий позволяет определить все множество С комплексных чисел.

Комплексные числа
Определение 1. Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа.


Определение 2. Два комплексных числа называют равными, если равны их действительные части и равны их мнимые части:

Степени мнимой единицы
По определению первой степенью числа i является само число i, а второй степенью – число -1:


Более высокие степени числа i находятся следующим образом:


Очевидно, что при любом натуральном n



i4 = i3 ∙ i = -∙i2= 1;
i5 = i4 ∙ i = i;
i6 = i5 ∙ i = i2= - 1 и т.д.
i1 = i, i2 = -1
i4n = 1; i4n+1 = i;
i4n +2 = - 1i4n+3 = - i.

Вычислите
𝑖 3
𝑖 5
𝑖 22
−𝑖 3
𝑖 2005

Комплексные числа в электротехнике
Применение комплексных чисел позволяет:
использовать законы, формулы и методы расчётов, применяющиеся в цепях постоянного тока, для расчёта цепей переменного тока;
упростить некоторые вычисления, заменив графическое решение с использованием векторов на алгебраическое решение;
рассчитывать сложные цепи, не решающиеся другим путем;
упростить расчеты цепей постоянного и переменного токов.

Комплексные числа в экономике

С их помощью можно охарактеризовать важнейшие свойства товара и работать с одним или совокупностью качеств товара
ПФ
вида Qt=f(Kt+iLt) и Gt+iCt=f(Kt+iLt), где Qt – объём выпуска (так как чаще всего он измеряется в денежных единицах, то можно также говорить о том, что Qt – доход организации), Gt – прибыль организации, Ct – издержки производства, Kt – капитал (стоимость основных производственных фондов), Lt – труд (численность персонала либо суммарная зарплата персонала).
Расчет прибыли по процентной ставке F V = PV( 1 + r)ł, где ставка г является комплексным числом г = а + b • i

Число, которое действует подобно вращению и не существует нигде в пространстве как количество.

Классификация комплексных чисел
Комплексные числа
a + bi
Действительные числа
b = o
Мнимые числа
b ≠ o
Рациональные
числа

Иррациональные
числа

Мнимые числа с
ненулевой
действительной
частью
a ≠ 0, b ≠ 0.
Чисто
мнимые
числа
a = 0, b ≠ 0.

Арифметические операции над комплексными числами
(а + bi) + (c + di) = (а + с) + (b + d)i
(а + bi) - (c + di) = (а - с) + (b - d)i
(а + bi)·(с + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Для комплексных чисел 𝑧 1 и 𝑧 2 их сумму, разность
и произведение
𝑧 1 =2+𝑖
𝑧 2 =−3+2𝑖

Сопряженные комплексные числа
Определение
Числа x + yi и x - yi называются взаимно сопряженными комплексными числами.
Если данное комплексное число обозначается буквой z, то сопряженное число обозначается :


Пример сопряженных чисел: 3+2i и 3-2i
Из всех комплексных чисел действительные числа (и только они) равны своим сопряженным числам.

:

.

Свойства сопряженных чисел
Сумма и произведение двух сопряженных чисел есть число действительное.
2. Число, сопряженное сумме двух комплексных чисел, равно сумме сопряженных данным числам.
Число, сопряженное разности двух комплексных чисел, равно разности сопряженных данным числам.
Число, сопряженное произведению двух комплексных чисел, равно произведению сопряженных данным числам.

Арифметические операции над комплексными числами
(а + bi) + (c + di) = (а + с) + (b + d)i
(а + bi) - (c + di) = (а - с) + (b - d)i
(а + bi)·(с + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Вычислите
𝑧 𝑧 и 𝑧 𝑧
Z=3-7i

Свойства сопряженных чисел
5. Число, сопряженное n-ой степени комплексного числа z, равно n-ой степени числа, сопряженного к числу z, т.е.
6. Число, сопряженное частному двух комплексных чисел, из которых делитель отличен от нуля, равно частному сопряженных чисел, т.е.