Презентация - "Занятие по теме: "История математических задач""

История математических задач

Древнейшие математические
артефакты
Кость из Лембобо – кость бабуина с выбитыми чёрточками, которые предположительно были результатом какого-то вычисления.
Найдена в горах Лембобо, на границе Южной Африки и Свазиленда, 1970.
Возраст кости – около 37 тысяч лет, по другим источникам – от 43000 до 44200 лет.
Предполагают, что кость имеет отношение к лунному календарю

История
Древний Египет
Основные сохранившиеся источники (период Среднего царства, расцвет древнеегипетской культуры):
Папирус Ахмеса или папирус Ринда — наиболее объёмный манускрипт, содержащий 84 математические задачи. Написан около 1650 г. до н. э.
Московский математический папирус (25 задач), около 1850 г. до н. э., 544 × 8 см.
Так называемый «кожаный свиток», 25 × 43 см.
Папирусы из Лахуна (Кахуна), содержащие ряд фрагментов на математические темы.
Берлинский папирус, около 1300 года до н. э.
Каирские деревянные таблички (таблички Ахмима)
Папирус Рейснера, примерно XIX век до н. э.

История
Древний Египет
Десятичная иероглифическая система (на картинке число 35736)
Умножение сводится к сложению (237 × 13 = 237 × 8 + 237 × 4 +237)
Действия с дробями (все дроби сводятся к сумме основных дробей 1/𝑛 и некоторых индивидуальных: 2/3, 3/4…)
Линейные уравнения (специальный иероглиф для переменной)
Площадь треугольника, объемы параллелепипеда и кругового цилиндра
Площадь четырехугольника ((𝑎 + 𝑏)/2) × ((𝑐 + 𝑑)/2)
Объем усеченной пирамиды с квадратным основанием (a²+ab+b²)h/3
Площадь круга (8𝑑/9)² (значение π=3.1605…)
Пример задачи из папируса Ринда:
Найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитания из результата его трети получается 10.

История
Древний Вавилон
Приблизительно современный Ирак, XX–VI века до н.э.
Более 500 глиняных табличек, покрытые клинописными текстами, которые датируются от 2000 до н.э. и до 300 н.э. Математика на клинописных табличках в основном была связана с ведением хозяйства.
60-ричная позиционная система счисления (нет нуля!): Деление часа на 60 минут и минуты на 60 секунд, деление круга на 360 градусов
Действия с произвольными дробями
Решение квадратных уравнений
Решение некоторых кубических уравнений с помощью таблиц

История
Древний Вавилон
Арифметика и нехитрая алгебра использовались при обмене денег и расчетах за товары, вычислении простых и сложных процентов, налогов и доли урожая, сдаваемой в пользу государства, храма или землевладельца. Многочисленные арифметические и геометрические задачи возникали в связи со строительством каналов, зернохранилищ и другими общественными работами. Очень важной задачей математики был расчет календаря, поскольку календарь использовался для определения сроков сельскохозяйственных работ и религиозных праздников.
Вавилоняне создали и систему счисления, использовавшую для чисел от 1 до 59 основание 10. Символ, обозначавший единицу, повторялся нужное количество раз для чисел от 1 до 9. Для обозначения чисел от 11 до 59 вавилоняне использовали комбинацию символа числа 10 и символа единицы. Для обозначения чисел начиная с 60 и больше вавилоняне ввели позиционную систему счисления с основанием 60.
Около 700 до н.э. вавилоняне стали применять математику для исследования движений Луны и планет. Это позволило им предсказывать положения планет, что было важно как для астрологии, так и для астрономии.
В геометрии вавилоняне знали о таких соотношениях, например, как пропорциональность соответствующих сторон подобных треугольников. Им была известна теорема Пифагора и то, что угол, вписанный в полуокружность – прямой. Они располагали также правилами вычисления площадей простых плоских фигур, в том числе правильных многоугольников, и объемов простых тел. Число p вавилоняне считали равным 3.

История
Древняя Индия
Источники практически отсутствуют
Религиозно-философские книги Шульба-сутры (дополнение к Ведам) – описание построения жертвенных алтарей: Действия с дробями, Извлечение корней, Рациональные приближения для корней, Решение уравнений, Суммирование арифметической и геометрической прогрессий, Теорема Пифагора, Точные и приближённые методы расчета площади треугольника, параллелограмма и трапеции, объёма цилиндра, призмы, усечённой призмы, Классическая задача комбинаторики: «сколько есть способов извлечь m элементов из N возможных» упоминается в сутрах, начиная примерно с IV века до н. э., Биномиальные коэффициенты и их связь с биномом Ньютона.
Десятичная система счисления (арабские цифры на самом деле индийские) – 500г. н.э.
Появление нуля (на картинке число 605)

История
Математика Греции
Фалес Милетский (ок. 620−540 гг. до н.э.)
• Способ определения расстояния от берега до движущегося корабля − подобие треугольников
• Измерение высоты египетских пирамид
Пифагор (ок. 570−490 гг. до н.э.)
• «элементы чисел являются элементами всех вещей… весь мир в целом является гармонией и числом»
• аксиоматический метод: чётко выделяются базовые предположения (аксиомы, постулаты) и дедуктивно выводимые из них теоремы
Теория музыки
• Высота тона, издаваемого колеблющейся струной, зависит от ее длины
• Гармонические созвучия издают натянутые струны, длины которых относятся между собой, как целые числа (октава − интервал между тонами, при котором длины относятся как 1/2)

История
Математика Греции
Пифагор (ок. 570−490 гг. до н.э.)
Геометрия
• Построена значительная часть планиметрии, доказана теорема Пифагора
• Найден способ отыскания «пифагоровых троек» (𝑎, 𝑏, 𝑐) , 𝑎 = 𝑛, 𝑎² + 𝑏² = 𝑐² для нечетных 𝑛: (𝑛, 𝑛² − 1)/2 , (𝑛² + 1)/2 .
• Для четных 𝑛 числа получены в академии Платона: (𝑛, 𝑛²/2 − 1, 𝑛²/2 + 1)
Пифагор (ок. 570−490 гг. до н.э.)
Арифметика
• Выделена теория чисел: все, относящееся к целым числам
• Целые числа полагались универсальными объектами, к отношениям между которыми (рациональным числам) сводятся все математические построения
• Разработана теория дробей (как пропорций), действия с дробями, приведение к общему знаменателю
• Алгоритм Евклида (НОД)
• Но сами же пифагорейцы доказали, что отношение диагонали квадрата к его стороне не является рациональным числом
Первый кризис математики
• Не все числа рациональны
• Понятие бесконечности ряда чисел противоречило понятию
конечности мира
• Нет отрицательных чисел (впервые, видимо, использовались
китайцами, вошли в математику после работ Кардано в 1545 г.)
Геометрическая алгебра
• Первичные элементы − отрезки прямой
• Все построения осуществляются циркулем и линейкой без делений
• Сложение − приставление отрезков, вычитание − отбрасывание части отрезка, умножение − вычисление площади прямоугольника, деление − приложение площадей (приложить к отрезку прямоугольник, равновеликий данному, рис. 2.1), здесь 𝑥 = 𝑎𝑏/𝑐.
• Интерпретация алгебраических формул геометрией (рис. 2.2), показана формула (𝑎 + 𝑏)² = 𝑎²+ 2𝑎𝑏 + 𝑏²

История
Математика Греции
Евклид (ок. 324 г. до н.э. –?)
• Первый математик Александрийской школы
• Главная работа Евклида – "Начала" (лат. Elementa) –содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел (например, алгоритм Евклида); состоит из 13-ти книг.
• Как правило, постулаты задают базовые построения (напр., «требуется, чтобы через любые две точки можно было провести прямую»), а аксиомы — общие правила вывода при оперировании с величинами (напр., «если две величины равны третьей, они равны между собой»).
«Начала»
• VII—IX книги посвящены теории чисел и восходят к пифагорейцам; автором VIII книги, возможно, был Архит Тарентский. Рассматриваются теоремы о пропорциях и геометрических прогрессиях, вводится метод поиска наибольшего общего делителя двух чисел (алгоритм Евклида), доказывается бесконечность множества простых чисел.
• В X книге, представляющей собой самую объёмную и сложную часть Начал, строится классификация иррациональностей; возможно, что её автором является Теэтет Афинский.