Презентация - "Презентация на тему "Подготовка к ОГЭ по математике (геометрия)""

Лазарева О.В. – учитель МБОУ СОШ «Гармония» г. Можайска

Задание 15 – выполнение 84,5%
Задание 16 – выполнение 74,8%
Задание 18 – выполнение 86,5%
1
2
3
4
5
6
Задание 17 – выполнение 66,3%
Задание 19 – выполнение 83,7%
Задание 20 – выполнение 81,4%
РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ МОДУЛЯ
«ГЕОМЕТРИЯ» В 2018 ГОДУ В МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ (БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ)

РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ МОДУЛЯ «ГЕОМЕТРИЯ» В 2018 ГОДУ В МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ
(ПОВЫШЕННЫЙ И ВЫСОКИЙ УРОВЕНЬ)
Задание 24 – выполнение на 2 балла 9,41%
выполнение на 1 балл 1,68%
Задание 25 – выполнение на 2 балла 2,88%
выполнение на 1 балл 1,54%
1
2
3
Задание 26 – выполнение на 2 балла 0,38%
выполнение на 1 балл 0,03%

КАК ПОСТРОИТЬ ОБОБЩАЮЩЕЕ ПОВТОРЕНИЕ ПО ПЛАНИМЕТРИИ?

Практикумы по решению задач на вычисление повышенного и высокого уровня сложности
(задачи 24,26)
ПОВТОРЕНИЕ КУРСА ГЕОМЕТРИИ
Повторение основных формул планиметрии, решение несложных задач на их применение
Решение простейших заданий на применение
теорем о свойствах и признаках фигур
Практикумы по решению задач на доказательство повышенного уровня сложности (задача 25)

1 ЭТАП. ПОВТОРЕНИЕ ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ ПЛАНИМЕТРИИ, РЕШЕНИЕ НЕСЛОЖНЫХ ЗАДАЧ НА ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
Задачи на оценку истинности предложенных высказываний
Площади фигур
Углы и длины в многоугольниках
Тригонометрия
Задачи с практическим содержанием

1 ЭТАП. ПОВТОРЕНИЕ ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ ПЛАНИМЕТРИИ, РЕШЕНИЕ НЕСЛОЖНЫХ ЗАДАЧ НА ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
Параллелограмм
Прямоугольный треугольник
Трапеция
Треугольник (5 формул)
Прямоугольник
Ромб
Произвольный многоугольник
Круг и круговой сектор

ПЛОЩАДИ ФИГУР

ЗАДАЧА
Доказать равенство площадей треугольников АВР и CPD

ЗАДАЧА
ABCD – параллелограмм, точка Е – середина стороны АВ. Площадь треугольника СВЕ равна 36. Найдите площадь параллелограмма ABCD

Треугольник и его частные случаи (равнобедренный, равносторонний, прямоугольный треугольники)
Параллелограмм и его частные случаи (ромб, прямоугольник, квадрат)
УГЛЫ И ДЛИНЫ В МНОГОУГОЛЬНИКАХ
Трапеция
n-угольник (n > 3)
Окружность и круг

Определите вид треугольника (остроугольный, тупоугольный или прямоугольный) со сторонами 8, 6 и 11 см
ЗАДАЧА
Решение:
1) α - больший угол треугольника, лежит напротив стороны в 11 см (так как в треугольнике больший угол лежит против большей стороны)
2)По теореме косинусов
11 2 = 8 2 + 6 2 −2∙8∙6∙ cos 𝛼 ;
cos 𝛼 =− 7 32 <0, значит, угол α – тупой.
Ответ: тупоугольный

Определение тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике
Таблица значений тригонометрических функций 30°, 45°, 60°
ТРИГОНОМЕТРИЯ
Основное тригонометрическое тождество
Формулы приведения для вычисления
значений тригонометрических функций
тупого угла

Задачи с практическим содержанием
(прототипы задания 15)
ПОВТОРЕНИЕ ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ ПЛАНИМЕТРИИ, РЕШЕНИЕ НЕСЛОЖНЫХ ЗАДАЧ НА ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

Задачи на оценивание истинности высказываний
(прототипы задания 20)

Какие из следующих утверждений верны?
1)Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
2) Средняя линия трапеции равна сумме ее оснований.
3)В любой четырехугольник можно вписать окружность.
В ответ запишите номер выбранного утверждения
ПОВТОРЕНИЕ ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ ПЛАНИМЕТРИИ, РЕШЕНИЕ НЕСЛОЖНЫХ ЗАДАЧ НА ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

ЗАДАЧИ НА ТРЕУГОЛЬНИК

𝑚 𝑎 = 2( 𝑏 2 + 𝑐 2 )−𝑎 2 2
𝑙 𝑎 = 𝑏𝑐 𝑏+𝑐+𝑎 (𝑏+𝑐−𝑎) 𝑏+𝑐
1 ℎ 𝑎 + 1 ℎ 𝑏 + 1 ℎ 𝑐 = 1 𝑟

ЗАДАЧА
Длины сторон a, b, c треугольника АВС равны 2, 3 и 4. Найдите расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей
Решение:
1)𝑝= 𝑎+𝑏+𝑐 2 = 2+3+4 2 = 9 2 – полупериметр
2) площадь
𝑆= 𝑝 𝑝−𝑎 𝑝−𝑏 𝑝−𝑐
9 2 9 2 −2 9 2 −3 9 2 −4 = 3 15 4
3) 9 2 9 2 −2 9 2 −3 9 2 −4 = 3 15 4
4)Расстояние между центрами окружностей d= R 2 −2rR = 2 10 5

Ответ 2 10 5

ЗАДАЧА
Основание равнобедренного треугольника равно , медиана боковой стороны равна 5. Найдите длину боковой стороны.
Решение:
По формуле длины медианы треугольника:
𝐴𝑀= 2 𝐴𝐵 2 + 𝐴𝐶 2 − 𝐵𝐶 2 2
Пусть АВ =2х, тогда ВМ = МС = х
Вычисляя, получим 5= 4 х 2 +64 2
х = 3, АВ = ВС = 6

Ответ: 6

1 ЭТАП. ОСНОВНЫЕ ИДЕИ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Задачи на подобие
Задачи на вписанную в треугольник
окружность
Задачи на свойства биссектрисы треугольника
Задачи на свойства параллельных прямых
Задачи на пропорциональные отрезки
Задачи на вписанные и описанные четырехугольники
Задачи на пропорциональность
отрезков хорд и секущих окружности
Задачи на использование
дополнительных построений,
вспомогательных фигур и
геометрических преобразований

ЗАДАЧИ НА ВПИСАННУЮ В ТРЕУГОЛЬНИК И ОПИСАННУЮ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА ОКРУЖНОСТЬ

ЗАДАЧА 1
В треугольник вписана окружность с радиусом 4. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки, длины которых 6 и 8. Найдите длины сторон треугольника.

РЕШЕНИЕ
В треугольник вписана окружность с радиусом 4. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки, длины которых 6 и 8. Найдите длины сторон треугольника.
Решение:
1) Соединим центр окружности О с вершинами треугольника.
Проведем также перпендикуляры
ОМ = ОТ= ОК = r
Тогда ∆ОАК=∆ОАТ,∆ОВМ=∆ОВТ,
∆ОСМ=∆ОСК
2) Пусть по условию ВМ=8, МС=6.
Тогда ВТ = ВМ = 8, СК = СМ = 6. Пусть АК = АТ = х








3) По формуле Герона
𝑆= 𝑝 𝑝−𝑎 𝑝−𝑏 𝑝−𝑐
В нашем случае = ВС = 14
b = АС = х + 6
с = АВ = х + 8
p = 14 + x; p - = x; p-b=8;
p – c = 6
𝑆= 14+𝑥 ∙𝑥∙8∙6
48∙𝑥∙(14+𝑥) = 14+𝑥 ∙4
48∙x∙ (14+x)=(14+x) ∙16
3 x = 14 + x
x = 7
АC = 13; AВ = 15.

Ответ: 13; 14; 15

ЗАДАЧИ НА СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ
∠1=∠4=∠6=∠8; ∠2=∠3=∠5=∠7

ЗАДАЧА 2
В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла A, которая пересекает сторону BC в точке F. Найдите длину BF, если сторона AB = 11
Решение:
∠BFA=∠FAD (внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и DC и секущей AF)
∠FAD=∠BAF, т.к. AF – биссектриса по условию
Тогда из (1) и (2) следует, что ∠BAF=∠BFA.
Значит, треугольник ABF – равнобедренный, и BF=AB=11.

Ответ: 11

Теорема Чевы
Теорема Минелая
ЗАДАЧИ НА ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ

Теорема Фалеса

ЗАДАЧА 3
Докажите, что медианы в треугольнике делятся в отношении 2:1, считая от вершины (известная теорема школьного курса математики)
Решение:
1)Даны медианы АМ и ВК, проведем отрезок МТ, параллельный ВК.
2) По т. Фалеса: т.к. ВМ=МС, то КТ=ТС.
3) Тогда АК = КС = 2КТ, значит, АО:ОМ=АК:КТ=2:1, что и требовалось доказать

ЗАДАЧИ НА СВОЙСТВА БИССЕКТРИСЫ ТРЕУГОЛЬНИКА

c d = a в или c a = d в

ЗАДАЧА 4
В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Найдите периметр треугольника ABC, если AC = 4; DC = 2; BD = 3.
Решение.
По свойству биссектрисы АВ 𝐶𝐷 = 𝐴𝐶 𝐶𝐷
𝐴𝐵 3 = 4 2 ; АВ=6
 
Периметр треугольника
Р АВС =6+5+4=15

Ответ: 15

по двум сторонам и углу между ними
по трем сторонам
ЗАДАЧИ НА ПОДОБИЕ
ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ:

по двум углам

ЗАДАЧИ НА ПОДОБИЕ
Высота, проведенная из прямого угла, делит его на два подобных треугольника
∆АВD ~ ∆СAD ~ ∆CBA

ЗАДАЧА 5
В треугольнике ABC проведены высоты AD и CE. Докажите, что треугольники ABC и DBE подобны.
2) Значит, 𝐵𝐸 𝐵𝐶 = 𝐵𝐷 𝐴𝐵

Отсюда 𝐵𝐷 𝐵𝐸 = 𝐴𝐵 𝐵𝐶

3) ∠B – общий
𝐵𝐷 𝐵𝐸 = 𝐴𝐵 𝐵𝐶

∆BDE ~ ∆ABC по двум сторонам и углу между ними, что и требовалось показать

Если около четырехугольника можно описать окружность, то суммы противоположных углов равны по 180о
Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны
ЗАДАЧИ НА ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

ЗАДАЧА 6
Около окружности с диаметром 15 см описана равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной 17 см. Найдите основания трапеции.
Решение.
1)Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, то ВK =15
2)Из ∆ABK по т. Пифагора:
𝐴𝐾= 𝐴𝐵 2 − 𝐵𝐾 2 = 17 2 − 15 2 =8



3) Пусть BC = x, тогда AD = 8 + x + 8 = x + 16.
Т.к. в трапецию вписана окружность, то
AD + BC = AB + CD;
x + 16 + x = 17 + 17;
x = 9;
ВС = 9 см, AD = 9+16 = 25 см.

Ответ: 9 см; 25 см.

ЗАДАЧИ НА ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ ХОРД И СЕКУЩИХ ОКРУЖНОСТИ
Для обоих случаев ОА∙ОВ = ОС∙ОД.
Если А совпадает с В (ОА - касательная),
то ОА²= ОС∙ОД

ЗАДАЧА 7
Известно, что в трапецию ABCD с основаниями AD и BC можно вписать окружность и около неё можно описать окружность, EF - её средняя линия. Известно, что AB + CD + EF = 18. Найдите периметр трапеции.
3) По условию AB + CD + EF = 18
𝑎+𝑎+𝑎=18
𝑎=6
Периметр трапеции
𝑃 𝐴𝐵𝐶𝐷 =4𝑎=24

Ответ: 24

ЗАДАЧИ НА ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ПОСТРОЕНИЙ, ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ФИГУР И ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ЗАДАЧА 8
Основания трапеции равны 4 см и 9 см, а диагонали равны 5 см и 12 см. Найти площадь трапеции и угол между её диагоналями.

ЗАДАЧА 9
Основания трапеции равны 4 см и 9 см, а диагонали равны 5 см и 12 см. Найти площадь трапеции и угол между её диагоналями.

РЕШЕНИЕ
Основания трапеции равны 4 см и 9 см, а диагонали равны 5 см и 12 см. Найти площадь трапеции и угол между её диагоналями.
1) Перенесём диагональ BD на вектор DC в положение CB'.
2) BB'CD - параллелограмм, то B'C = 5 см,
AB' = AB + BB' = AB + CD = 13 см.
3)Рассмотрим ΔACB‘
АС2 + B'C2 =(AB')2= 52 + 122 = 132
Значит, ΔACB' – прямоугольный с ∠C=90°
4) Отсюда, что угол между диагоналями трапеции, равный углу АСВ', составляет 90°
5)𝑆= 1 2 𝐴𝐶∙𝐵𝐷∙ sin 90°= 1 2 ∙12∙5∙1=30

Ответ: 30 см2, 90о

III ЭТАП.
ПРАКТИКУМЫ ПО РЕШЕНИЮ СЛОЖНЫХ ЗАДАЧ (ЗАДАЧИ 24, 25,26)

ЗАДАНИЕ 1 (№24 КИМ ОГЭ)
Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 13, AC = 65, NC = 28.
Решение
1)∠BNM=∠BCA как соответственные при параллельных прямых АС и MN и секущей ВС.
2) Рассмотрим ∆АВС и ∆MBN
∠B – общий, ∠BNM=∠BCA
Значит, треугольники АВС и MBN подобны по двум углам.
3)Т.к ∆АВС~∆MBN, значит ВС 𝐵𝑁 = 𝐴𝐶 𝑀𝑁 = 65 13 =5
Тогда 𝐵𝐶 𝐵𝑁 = 𝐵𝑁+𝑁𝐶 𝐵𝑁 =1+ 28 𝐵𝑁
𝐵𝑁= 28 4 =7

Ответ: 7

ЗАДАНИЕ 2 (№25 КИМ ОГЭ)
В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты𝐴 𝐴 1 и В В 1
Докажите, что углы А А 1 В 1 и АВ В 1 равны.

Решение:
Диагонали четырехугольника
А В 1 А 1 Впересекаются, значит, он является выпуклым.
Поскольку ∠А В 1 В=∠А А 1 В=90°,около четырехугольникаА В 1 А 1 Вможно описать окружность. Следовательно, углыА А 1 В 1 и АВ В 1
равны как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу А В 1

ЗАДАНИЕ 3 (№26 КИМ ОГЭ)
В параллелограмме ABCD проведена диагональ АС. Точка О является центром окружности, вписанной в треугольник АВС. Расстояния от точки О до точки А и до прямых AD и АС соответственно равны 25, 19 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

РЕШЕНИЕ
В параллелограмме ABCD проведена диагональ АС. Точка О является центром окружности, вписанной в треугольник АВС. Расстояния от точки О до точки А и до прямых AD и АС соответственно равны 25, 19 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
Решение:
1)Пусть M, L, K – точки касания окружности, вписанная в треугольник АВС и сторон АВ, ВС и АС
Н – проекция точки О на прямую AD
Тогда , точки О, L и Н лежат на одной прямой, HL – высота параллелограмма ABCD, 𝐿=𝑂𝑙+𝑂𝐻=7+19=26
2)Из прямоугольного треугольника АОК находим, что
𝐴𝐾= 𝑂𝐴 2 − 𝑂𝐾 2 =24
3) r = 7 – радиус окружности, вписанной в него. Обозначим ВС = х. Тогда 𝑝=𝐴𝐾+𝐶𝐿+𝐵𝑀=𝐴𝐾+𝐶𝐿+𝐵𝐿=𝐴𝐾+𝐵𝐶=2
𝑆= 1 2 𝐵𝐶∙𝐻𝐿= 1 2 ∙𝑥∙26=13𝑥,
𝑆=𝑝∙𝑟=7 24+𝑥
13𝑥=7(24+𝑥)
ВС = х = 28.
Следовательно, 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 =2𝑆=2𝑝𝑟=728
Ответ: 728

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!