Презентация - "Презентация (компьютерный тренажер) по математике для 5 - 9 классов по теме "Уравнения""

Компьютерный тренажер
УРАВНЕНИЯ
5 - 9

Рекомендации по использованию компьютерного тренажера
Компьютерный тренажер представляет собой систему правил, определений, алгоритмов по теме «Уравнения», изучаемой в курсе математики 5 – 9 классов; используется при объяснении нового материала, а также позволяет целенаправленно ликвидировать пробелы в знаниях обучающихся по данной теме.
Представленные материалы содержат опорные конспекты, алгоритмы выполнения заданий и примеров базового уровня сложности, и позволяет обучающемуся самостоятельно использовать компьютерный тренажер как диагностическое, так и обучающее пособие, что формирует навык самостоятельной учебной работы, помогает обучающимся преодолевать неуверенность в своих силах, создавая ситуацию успеха.

УРАВНЕНИЯ
пропорция
ЛИНЕЙНОЕ
УРАВНЕНИЕ
квадратное
уравнение

ДРОБНО –
РАЦИОНАЛЬНОЕ
УРАВНЕНИЕ
ДРОБНО –
РАЦИОНАЛЬНОЕ
УРАВНЕНИЕ
ОСНОВНЫЕ
ПОНЯТИЯ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
УРАВНЕНИЕ

КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ

НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Уравнение
Определение:
равенство, содержащее переменную называется уравнением.
Задание
Назвать уравнения среди следующих:

1) 5 х
2) 24 * 5 = 120
3) 3 х = 6

Неверно, внимательно прочитай определение и обрати на слово «равенство»

Молодец! Ответ правильный.

Неверно, внимательно прочитай определение и обрати на слово «переменная»

Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство
Пример
4 х = 20
При х = 5 имеем
4 • 5 = 20;
20 = 20 – верное числовое равенство, 5 – корень уравнения
При х = 10 имеем
4 • 10 = 20;
40 = 20 – ложно, 10 не является корнем уравнения

Задание
Какие из чисел являются корнем уравнения
2 х – 3 = 7?

5
2) 4
3) 10

Неверно,
так как 2 • 4 – 3 = 7 - ложно

Молодец! Ответ правильный.

Неверно,
так как 2 • 10 – 3 = 7 - ложно

Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет
Повтори!
Как найти неизвестное
СЛАГАЕМОЕ
УМЕНЬШАЕМОЕ
ВЫЧИТАЕМОЕ
МНОЖИТЕЛЬ
ДЕЛИТЕЛЬ
ДЕЛИМОЕ

СЛАГАЕМОЕ + СЛАГАЕМОЕ = СУММА
ЧТОБЫ НАЙТИ НЕИЗВЕСТНОЕ СЛАГАЕМОЕ, НАДО ИЗ СУММЫ ВЫЧЕСТЬ ИЗВЕСТНОЕ СЛАГАЕМОЕ

Х + 5 = 13;
Х = 13 – 5;
Х = 8.
ОТВЕТ: 8.

ЧТОБЫ НАЙТИ УМЕНЬШАЕМОЕ, НАДО К РАЗНОСТИ ПРИБАВИТЬ ВЫЧИТАЕМОЕ

Х – 13 = 42;
Х = 42 + 13;
Х = 55.
ОТВЕТ: 55.
УМЕНЬШАЕМОЕ – ВЫЧИТАЕМОЕ = РАЗНОСТЬ

ЧТОБЫ НАЙТИ ВЫЧИТАЕМОЕ, НАДО ИЗ УМЕНЬШАЕМОГО ВЫЧЕСТЬ РАЗНОСТЬ

49 – Х = 27;
Х = 49 – 27;
Х = 22.
ОТВЕТ: 22.
УМЕНЬШАЕМОЕ – ВЫЧИТАЕМОЕ = РАЗНОСТЬ

МНОЖИТЕЛЬ • МНОЖИТЕЛЬ = ПРОИЗВЕДЕНИЕ

ЧТОБЫ НАЙТИ НЕИЗВЕСТНЫЙ МНОЖИТЕЛЬ, НАДО ПРОИЗВЕДЕНИЕ РАЗДЕЛИТЬ НА ИЗВЕСТНЫЙ МНОЖИТЕЛЬ

6 Х = 42;
Х = 42 : 6;
Х = 7.
ОТВЕТ: 7.
МНОЖИТЕЛЬ • МНОЖИТЕЛЬ = ПРОИЗВЕДЕНИЕ

ЧТОБЫ НАЙТИ ДЕЛИМОЕ, НАДО ЧАСТНОЕ УМНОЖИТЬ НА ДЕЛИТЕЛЬ

Х : 23 = 69;
Х = 69 : 23;
Х = 3.
ОТВЕТ: 3.
ДЕЛИМОЕ : ДЕЛИТЕЛЬ = ЧАСТНОЕ

ЧТОБЫ НАЙТИ ДЕЛИТЕЛЬ, НАДО ДЕЛИМОЕ РАЗДЕЛИТЬ НА ЧАСТНОЕ

45 : Х = 9;
Х = 45 : 9;
Х = 5.
ОТВЕТ: 5.
ДЕЛИМОЕ : ДЕЛИТЕЛЬ = ЧАСТНОЕ

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ ПРАВИЛА НА НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО

РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ (х+ 64) – 38 = 48

Решение:
1) СНАЧАЛА НАЙДЕМ НЕИЗВЕСТНОЕ УМЕНЬШАЕМОЕ (х + 64)
х + 64 = 48 + 38;
х + 64 = 86;
2) А ПОТОМ НАЙДЕМ НЕИЗВЕСТНОЕ СЛАГАЕМОЕ х
х = 86 – 64;
х = 22.
ОТВЕТ: 22.

ЗАДАНИЯ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
(х – 47) – 67 = 123
347 – ( х + 45) = 48
(х + 27) – 12 = 42
(х – 12) ∙ 8 = 56
(х + 25) : 8 = 16
124 : (х – 5) = 31
38 х + 15 = 91
44 : х – 9 =13

ОТВЕТЫ
237
254
27
19
103
9
2
2

ПРОВЕРЬ СВОЁ РЕШЕНИЕ!
№1 РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ ( Х – 47) – 67 = 123.

РЕШЕНИЕ:
( Х – 47) – 67 = 123;
НАХОДИМ НЕИЗВЕСТНОЕ УМЕНЬШАЕМОЕ;
Х – 47 = 123 + 67;
Х – 47 = 190;
НАХОДИМ НЕИЗВЕСТНОЕ УМЕНЬШАЕМОЕ;
Х = 190 + 47;
Х = 237.
ОТВЕТ: 237.

ПРОВЕРЬ СВОЁ РЕШЕНИЕ!
№2 РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ 347 – (Х + 45) = 48.

РЕШЕНИЕ:
347 – ( Х + 45 ) = 48;
НАХОДИМ НЕИЗВЕСТНОЕ ВЫЧИТАЕМОЕ;
Х + 45 = 347 – 48;
Х + 45 = 299;
НАХОДИМ НЕИЗВЕСТНОЕ СЛАГАЕМОЕ;
Х = 299 – 45;
Х = 254.
ОТВЕТ: 254.

ПРОВЕРЬ СВОЁ РЕШЕНИЕ!
№3 РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ ( Х + 27) – 12 = 42.

РЕШЕНИЕ:
( Х + 27 ) – 12 = 42;
НАХОДИМ НЕИЗВЕСТНОЕ УМЕНЬШАЕМОЕ;
Х + 27 = 42 + 12;
Х + 27 = 54;
НАХОДИМ НЕИЗВЕСТНОЕ СЛАГАЕМОЕ;
Х = 54 – 27;
Х = 27.
ОТВЕТ: 27.

ПРОВЕРЬ СВОЁ РЕШЕНИЕ!
№4 РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ ( Х –12) ∙8 =56.

РЕШЕНИЕ:
( Х –12) ∙8 =56;
НАХОДИМ НЕИЗВЕСТНЫЙ МНОЖИТЕЛЬ;
Х – 12 = 56 : 8;
Х – 12 = 7;
НАХОДИМ НЕИЗВЕСТНОЕ УМЕНЬШАЕМОЕ;
Х = 7 + 12;
Х = 19.
ОТВЕТ: 19.

ПРОВЕРЬ СВОЁ РЕШЕНИЕ!
№5 РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ ( Х + 25 ) : 8 = 16.

РЕШЕНИЕ:
( Х + 25 ) : 8 = 16;
НАХОДИМ НЕИЗВЕСТНОЕ ДЕЛИМОЕ;
Х + 25 = 16 ∙ 8;
Х + 25 = 128;
НАХОДИМ НЕИЗВЕСТНОЕ СЛАГАЕМОЕ;
Х = 128 – 25;
Х = 103.
ОТВЕТ: 103.

ПРОВЕРЬ СВОЁ РЕШЕНИЕ!
№6 РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ 124 : (Х – 5) = 31.

РЕШЕНИЕ:
124 : (Х – 5) = 31;
НАХОДИМ НЕИЗВЕСТНЫЙ ДЕЛИТЕЛЬ;
Х – 5 = 124 : 31;
Х – 5 = 4;
НАХОДИМ НЕИЗВЕСТНОЕ УМЕНЬШАЕМОЕ;
Х = 4 + 5;
Х = 9.
ОТВЕТ: 9.

ПРОВЕРЬ СВОЁ РЕШЕНИЕ!
№7 РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ 38 Х + 15 = 91.

РЕШЕНИЕ:
38 Х + 15 = 91;
НАХОДИМ НЕИЗВЕСТНОЕ СЛАГАЕМОЕ;
38 Х = 91 – 15;
38 Х = 76;
НАХОДИМ НЕИЗВЕСТНЫЙ МНОЖИТЕЛЬ;
Х = 76 : 38;
Х = 2.
ОТВЕТ: 2.

ПРОВЕРЬ СВОЁ РЕШЕНИЕ!
№8 РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ 44 : Х – 9 = 13.

РЕШЕНИЕ:
44 : Х – 9 = 13;
НАХОДИМ НЕИЗВЕСТНОЕ УМЕНЬШАЕМОЕ;
44 : Х = 13 + 9;
44 : Х = 22;
НАХОДИМ НЕИЗВЕСТНЫЙ ДЕЛИТЕЛЬ;
Х = 44 : 22;
Х = 2.
ОТВЕТ: 2.

ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

УРАВНЕНИЕ И ЕГО СВОЙСТВА

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Уравнение вида а х + в = 0, где а, в – некоторые числа, х – переменная, называется линейным уравнением с переменной х.
ПРИМЕР:
1) 6 х = 2; 2) 4х + 12 = 45; 3) 5х = 0
ЗАДАНИЕ:
составьте линейное уравнение, корнем которого является число – 12.

Проверь себя!
Примеры линейных уравнений, корнем которых является число – 12.
Х + 12 = 0;
4 Х + 16 = - 32;
2 Х – 2 = 6 Х + 46;

ВЫПОЛНИ ПРОВЕРКУ, ПОДСТАВИВ
ВМЕСТО х В УРАВНЕНИЯ ЧИСЛО – 12.

Уравнение и его свойства
Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.
2) Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение равносильное данному.

ВНИМАТЕЛЬНО
РАССМОТРИ ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ


№ 1 РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ
4 Х – 15 = Х + 15.

РЕШЕНИЕ:
4 Х – 15 = Х + 15;
4 Х – Х = 15 + 15;
3 Х = 30;
Х = 30 : 3;
Х = 10.
ОТВЕТ: 10.
№ 2 РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ 4 ( Х + 7 ) = 3 – Х.

РЕШЕНИЕ:
4 ( Х + 7 ) = 3 – Х;
4 Х + 28 = 3 – Х;
4 Х + Х = 3 - 28;
5 Х = - 25;
Х = - 25 : 5;
Х = - 5.
ОТВЕТ: - 5.

Решение линейных уравнений
ax +b = 0
a ≠ 0, b ≠ 0
x = -
Уравнение имеет один корень
a ≠ 0, b = 0
x = 0
Уравнение имеет один корень
a = 0, b ≠ 0
Уравнение не имеет корней, т. к. делить на 0 нельзя

a = 0, b = 0
x - любое число
Уравнение имеет бесконечное число корней

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
№ 1.
12х – 1 = 35;
12х = 35 + 1;
12х = 36;
х = 36 : 12;
х = 3.
Ответ: 3.

№ 2.
7 = 6 – 0,2х;
6 – 0,2х = 7;
0,2х = 6-7;
0,2х = - 1;
х = - 1 : 0,2;
х = - 5.
Ответ: - 5.

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
№ 1.
1,5 х = 0;
х = 0 : ( - 1,5 );
х = 0.
Ответ: 0.
№ 2.
2 х + 4 = 4;
2 х = 4 – 4;
2 х = 0;
х = 0: 2;
х = 0.
Ответ: 0.

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
№ 1.
5 ( 2 х – 4) = 4 ( - 5 + 2,5 х);
10 х – 20 = - 20 + 10 Х;
10 х – 10 х = - 20 + 20;
0 х = 0;
х – ЛЮБОЕ ЧИСЛО.
ОТВЕТ: ЛЮБОЕ ЧИСЛО.

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
№ 1.
2 х + 5 = 2 ( х + 6 );
2 х + 5 = 2 х + 12;
2 х – 2 х = 12 – 5;
0 х = 7.
Полученное уравнение не имеет корней, так как делить на нуль нельзя.
Ответ: нет корней.

Решите самостоятельно уравнения
0,7 х = 0;
5 х – 150 = 0;
- х + 4 = 47;
1,3 х = 54 + х;
3 х – 8 = х + 6;
3 х – ( 10 + 5 х ) = 54;
( х + 4 ) – ( х – 2 ) = 6 х;
2 х + 3 = 2 х + 8;
2 х + 5 = 2 ( х + 1) + 11;
5 ( 3 х + 1,2 ) + х = 6,8;
15 ( х + 2) – 30 = 12 х;
7 ( х – 8,2) = 3 х + 19.

Проверь себя!
Ответы:
х = 0;
х = 60;
х = - 43;
х = 180;
х = 7;
х = - 32;
х = 1;
Нет корней;
Нет корней;
х = 0,05;
х = 0;
х = 21,6.



Указание:

Рассмотри случай a ≠ 0, b = 0;
Рассмотри случай a ≠ 0, b ≠ 0
3. Рассмотри случай a ≠ 0, b ≠ 0
Вспомни свойства уравнения
Вспомни свойства уравнения
Раскройте скобки перед которыми стоит знак минус
Раскройте скобки перед которыми стоит знак минус
Вспомни свойства уравнения и рассмотри случай
a = 0, b ≠ 0
9. Примените распределительный закон а ( в + с ) = а в + ас
Рассмотрите случай а = 0 и в = 0.
10. Примените распределительный закон а ( в + с ) = а в + ас и свойства уравнения
11. Примените распределительный закон а ( в + с ) = а в + ас и свойства уравнения
12. Примените распределительный закон а ( в + с ) = а в + ас и свойства уравнения

Решение задач с помощью уравнений:
- неизвестное число обозначается буквой;
-составляют по условию уравнение;
-решают это уравнение;
-истолковывают полученный результат.
Задача
Двое рабочих изготовили 86 деталей, причем первый рабочий изготовил на 8 деталей меньше второго. Сколько деталей изготовил каждый рабочий?

I рабочий - ? д., на 8 д. меньше
II рабочий - ? д.
РЕШЕНИЕ: 1) пусть первый рабочий изготовил х деталей, тогда второй рабочий изготовил (х + 8) деталей. Всего оба рабочих изготовили ( х + х + 8) деталей, что по условию задачи 86 деталей. Получаем уравнение:
х + х + 8 = 86.
Решаем уравнение:
2 х + 8 = 86;
2 х = 86 – 8;
2 х = 78;
х = 78 : 2;
х = 39.
2) Итак, первый рабочий изготовил 39 деталей.
39 + 8 = 47 (д.) – изготовил второй рабочий
Ответ: 39 деталей; 47 деталей.
86 д.

Решение задач с помощью уравнений:

- неизвестное число обозначается буквой;
-составляют по условию уравнение;
-решают это уравнение;
-истолковывают полученный результат.
Задача
Предназначенные для посадки 78 саженцев смородины дети решили распределить между тремя звеньями так, чтобы первому звену досталось саженцев в 2 раза меньше, чем второму, а третьему – на 12 саженцев больше, чем первому. Сколько саженцев надо выделить первому звену?

I звено - ?с., в 2 раза меньше
II звено - ?с.
III звено - ?с., на 12 с. больше
Решение: 1) пусть первому звену выделили х саженцев, тогда второму звену выделили (2х) саженцев, а третьему звену выделили (х + 12) саженцев. Всего выделили (х + 2х + х + 12)саженцев, что по условию задачи 78 саженцев. Получаем уравнение:
х + 2х + х + 12 = 78.
Решаем уравнение: 4 х + 12 = 78;
4 х = 78 – 12;
4 х = 66;
х = 16,5.
2)по смыслу задачи х должно быть натуральным числом, а полученный корень – дробное число. Значит, распределить саженцы указанным способом нельзя.
Ответ: такое распределение саженцев невозможно.


78 с.

Решите самостоятельно задачу
В первой бригаде было в 4 раза больше людей, чем во второй. После того как из второй бригады 6 человек ушло, а 12 перевели в первую, людей в бригадах стало поровну. Сколько человек было в первой бригаде?

Указание: примите число человек в первой бригаде за х.

Проверь себя!

Задача
Решение: 1) пусть в первой бригаде было х человек, тогда во второй бригаде (4 х) человек. После того, как из второй бригады ушло 6 человек и 12 человек перешло в первую бригаду, то в первой бригаде стало (х + 12) человек, а во второй – (4 х – 6 – 12) человек. По условию задачи количество людей стало поровну.
Получаем уравнение: х + 12 = 4 х – 6 – 12.
Решаем уравнение: х + 12 = 4 х – 18;
х – 4 х = - 18 – 12;
- 3 х = - 30;
х = 10.
2) Итак, в первой бригаде было 10 человек.
Ответ: 10 человек.
было изменения стало
I бригада - ? чел., в 4 раза меньше
II бригада - ? чел.

6 чел. ушло и 12 чел.
поровну

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Определение квадратного уравнения
Неполное квадратное уравнение
Формула корней квадратного уравнения
Решение задач с помощью квадратного уравнения
Квадратный трехчлен и его корни
Нахождение корней квадратного трехчлена
Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратное уравнение
Определение:
уравнение вида а х² + в х + с = 0, (a ≠ 0)
х – переменная, а, в, с – некоторые числа
называется квадратным уравнением

Пример: - 3 х² + 15 = 0 ( а = - 3, в = 0, с = 15);
4 х² - 9 х = 0 ( а = 4, в = - 9, с = 0);
3 х² - 5 х – 2 = 0 (а = 3, в = - 5, с = - 2)

Задание: является ли квадратным уравнение:
6 х² + 5 х + 1 = 0; 3 х² - х³ - 4 = 0; - х² = 0.

Задание: Выберите числа, которые являются корнями уравнения
х² - 2 х – 8 = 0.
- 4; - 2; 0; 2; 4.

уравнение
6 х² + 5 х + 1 = 0 является квадратным уравнением, так как наибольший показатель степени переменной равен 2. В этом уравнение а = 6, в = 5, с = 1.

Уравнение
3 х² - х³ - 4 = 0 не является квадратным уравнением, так как наибольший показатель степени переменной равен 3, а не 2, согласно определению квадратного уравнения.

Уравнение
- х² = 0 является квадратным уравнением, так как наибольший показатель степени переменной равен 2. В этом уравнении
а = - 1, в = 0, с = 0.

Неверно!

( - 4 )² - 2 • ( - 4) – 8 = 0;

16 + 8 – 8 = 0;

16 = 0 – неверное числовое равенство, значит, - 4 не является корнем уравнения

х² - 2 х – 8 = 0

Молодец!
Задание выполнено правильно.
Проверь ещё раз себя.
( - 2)² - 2 • ( - 2) – 8 = 0;
4 + 4 – 8 = 0;
0 = 0 – верное числовое равенство.
Итак, - 2 является корнем уравнения
х² - 2 х – 8 = 0

Допущена ошибка!
Проверь сове решение.
0² - 2 • 0 – 8 = 0;
0 – 0 – 8 = 0;
- 8 = 0 – ложно, значит, 0 – не является корнем уравнения х² - 2 х – 8 = 0

Задание выполнено неправильно!
Найдите ошибку в своем решение.
2² - 2 • 2 – 8 = 0;
4 – 4 – 8 = 0;
- 8 = 0 – неверное числовое равенство, а значит, число 2 не является корнем уравнения х² - 2 х – 8 = 0

Молодец!
Задание выполнено правильно.
Проверь ещё раз себя.
4² - 2 • 4 – 8 = 0;
16 – 8 – 8 = 0;
0 = 0 – верное числовое равенство.
Итак, 4 - является корнем уравнения
х² - 2 х – 8 = 0

Неполные квадратные уравнения
(a ≠ 0, в = 0 или с = 0)
Неполные квадратные уравнения
(a ≠ 0, в = 0 или с = 0)

а х²+в х = 0
с = 0


а х² + с = 0
в = 0
а х² = 0
в = 0
с = 0

Неполное квадратное уравнение вида
а х² + в х = 0, с = 0
имеет два корня

Решите уравнение: 4 х² + 9 х = 0.
Решение: 4 х² + 9 х = 0;
Вынесем за скобки переменную х,
х ( 4 х + 9 ) = 0.
Произведение может быть равно нулю лишь в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю.
х = 0 или 4 х + 9 = 0;
4 х = - 9;
х = - 2, 25.
Ответ: - 2, 25; 0.

Неполное квадратное уравнение вида а х² + с = 0, в = 0
имеет два корня или не имеет корней
Решите уравнение:
3 х² - 75 = 0.
Решение:
3 х² = 75;
х² = 75 : 3;
х² = 25;
Есть два числа при возведении которых в квадрат получается 25. Это числа 5 и – 5.
х = 5 или х = - 5.
Ответ: - 5; 5.
Решите уравнение:
3 х² + 75 = 0.
Решение:
3 х² = - 75;
х² = - 75 : 3;
х² = - 25;
Так как квадрат числа не может быть отрицательным числом, то получившееся уравнение не имеет корней.
Ответ: корней нет.

Неполное квадратное уравнение вида а х² = 0
имеет один корень
Решите уравнение: 4 х² + 7 = 7.
Решение: 4 х² + 7 = 7;
4 х² = 7 – 7;
4 х² = 0;
х² = 0 : 4;
х² = 0;
х = 0
Ответ: 0.

Формула корней квадратного уравнения

а х² + в х + с = 0, (a ≠ 0)







дискриминант
D = в² - 4 а с





D < 0
Уравнение не имеет корней
D > 0
Уравнение имеет два корня
Х =
D = 0
Уравнение имеет один корень
х =
- в ±  D
4 ас
- в
2а

Решение
квадратного уравнения по формуле
Решите уравнение: 2 х² + 2 х + 5 = 0.
Решение: 2 х² + 2 х + 5 = 0;
а = 2, в = 2, с = 5;
D = в² - 4 а с,
D = 2² - 4 • 2 • 5 = 4 – 40 = - 36, D < 0, значит, уравнение не имеет корней.
Ответ: корней нет.

Решение
квадратного уравнения по формуле
Решите уравнение: х² + 2 х – 3 = 0.
Решение: х² + 2 х – 3 = 0;
а = 1, в = 2, с = - 3;
D = в² - 4 а с,
D = 2² - 4 • 1 • ( - 3 ) = 4 + 12 = 16, D > 0,
значит, уравнение имеет два корня;
х = ; х = 2, х = - 3.

Ответ: - 3; 2.

- 2 ± 4
2 • 1

Решение
квадратного уравнения по формуле
Решите уравнение: х² + 4 х + 4 = 0.
Решение: х² + 4 х + 4 = 0;
а = 1, в = 4, с + 4;
D = 4 ² - 4 • 1 • 4 = 16 – 16 = 0, D = 0,
следовательно, уравнение имеет один корень;
х = ; х = - 2.
Ответ: - 2.
- в
2 а

Задания
для самостоятельной работы
№ 1 Устно. Укажите для каждого
уравнения значения а, в, с.
А) 3 х² + 6 х – 9 = 0;
Б) х² - 4 х + 4 = 0;
В) х² - х + 1 = 0.

№ 2 Для каждого уравнения из № 1
вычислите дискриминант.

№ 3 Решите уравнения из № 1.

ответы
№ 1
А) а = 3, в = 6, с = - 9
Б) а = 1, в = - 4, с = 4
В) а = 1, в = - 1, с = 1.

ответы
№ 2

А) D = 144 Б) D = 0 В) D = - 3

ответы
№ 3

А) – 3; 1 Б) 2 В) нет корней

Проверь своё решение,
найди ошибку
№ 2
А) D = 6² - 4 • ( - 9 ) • 3 = 36 + 108 = 144

Б) D = ( - 4 ) ² - 4 • 4 = 16 – 16 = 0

В) D = ( - 1 ) ² - 4 • 1 = 1 – 3 = - 3

Проверь своё решение,
найди ошибку
№ 3
А) х = ; х1 = - 3, х2 = 1.

Б) х = ; х = 2.

В) так как D < 0, то уравнение не имеет корней.
- 6 ± 12
2 • 3
4
2•1

Решение задач
с помощью квадратного уравнения
Задача
Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из катетов на 4 см меньше другого, а гипотенуза равна 20 см.

Дано: АВ = 20 см, АС>СВ на 4 см.
Найти: АС, СВ.
Решение: 1) пусть меньший катет СВ равен х см,
тогда больший катет АС равен (х + 4) см.
По теореме Пифагора квадрат гипотенузу равен сумме квадратов катетов, значит, х ² + (х + 4)² = 20 ².
Упростим выражение х ² + (х + 4)² = х ² + х ² + 8 х + 16 = 2 х ² + 8 х + 16.
Получаем уравнение: 2 х ² + 8 х + 16 = 400;
2 х ² + 8 х + 16 – 400 = 0;
2 х ² + 8 х – 384 = 0;
х ² + 4 х –192 = 0;
D>0, х = - 16, х = 12.
2) по смыслу задачи х должно быть положительным числом, а полученный корень х = - 16 не имеет смысла. Значит, один из катетов треугольника равен 12 см, второй катет 12 + 4 = 16 (см).
Ответ: 12 см, 16 см.



С
А
В

Задание
для самостоятельной работы

Задача
Представьте число 120 в виде произведения двух чисел,одно из которых на 2 меньше другого.

Указание:
меньшее из чисел обозначьте за х.

Проверь свое решение !
Задача
I число - ?
II число - ?, на 2 меньше
Произведение – 120
Решение: 1) обозначим меньшее второе число за х, тогда большее первое число будет ( х + 2 ). Произведение этих чисел равно х • ( х + 2 ), что по условию задачи равно 120. Получаем уравнение: х • ( х + 2 ) = 120.
Решаем уравнение: х • ( х + 2 ) = 120;
х² + 2 х – 120 = 0;
D = 2² - 4 • 1 • ( - 120 ) = 4 + 480 = 484, D > 0,

х = ; х = 10, х = - 12.

2) итак, второе число равно 10 или – 12, тогда первое число равно 10 + 2 = 12 или – 12 + 2 = - 10.
Ответ: 12, 10 или – 10, - 12.

- 2 ± 22
2 • 1

Квадратный трехчлен и его корни


Квадратным трехчленом называется многочлен вида
а х² + в х + с, (а  0)
х – переменная, а, в, с – некоторые числа.

Пример:
3 х² + 6 х – 9
- х² - 2 х + 16

Корнем квадратного
трехчлена является
значение переменной
х, при которой квадратный
трехчлен обращается в нуль

Квадратный трехчлен
имеет те же корни,
что и квадратное
уравнение
а х² + в х + с = 0

Нахождение корней квадратного трехчлена
Повтори формулу корней квадратного уравнения

Пример. Найдем корни квадратного трехчлена
3 х² - 2 х – 5
Решение:1)решим уравнение 3 х² - 2 х – 5 = 0
D = ( - 2) ² - 4 • 3 • ( - 5 ) = 64 (два корня)

х = ; х = 1 , х = - 1.
2) Итак, корни квадратного трехчлена х = 1 ,
х = - 1.


2 ± 64
2 • 3
2
3
2
3

Задания
для самостоятельной работы
Имеет ли квадратный трехчлен
а ) - 4 х² - 4 х + 3; б) 4 х² - 4 х + 3 корни и если имеет, то сколько?

Найдите корни квадратного трехчлена
а ) х² + 6 х – 16;
б ) - х² + 2 х + 99;

ответы
а)да, 2 корня; б)нет.

ответы
2. а) – 8 и 2; б) – 9 и 11.

Проверь свое решение!
а) D = (- 4)² -4 • (- 4) • 3 = 16 + 48 = 64,
D>0, значит, квадратный трехчлен
имеет два корня.

б) D = (- 4)² -4 • 4 • 3 = 16 – 48 = - 32,
D<0, значит, квадратный трехчлен
не имеет корней.

Проверь свое решение!
а) для нахождения корней квадратного трехчлена решим уравнение х² + 6 х – 16 = 0; D = 6² - 4 • 1• (-16) = 36 + 64 = 100, два корня:

х = ; х = - 8, х = 2. Значит, корни квадратного
трехчлена – 8 и 2.

б) для нахождения корней квадратного трехчлена решим уравнение - х² + 2 х + 99 = 0; D = 2² - 4 • 99 • (-1) = 4 + 396 = 400, два корня:

х = ; х = - 9, х = 11. Значит, квадратный

трехчлен имеет два корня – 9 и 11.
- 6 ± 10
2 • 1
2 • (-1)
- 2 ± 20

Разложение
квадратного трехчлена на множители


а х² + в х + с = а ( х – х1 )( х – х2 ),
где х1 , х2 – корни квадратного трехчлена


Пример:
Разложите на множители квадратный трехчлен 2х2 + 7х – 4
Решение: 1) найдем корни квадратного трехчлена, для этого решим
квадратное уравнение 2 х2 + 7х – 4 = 0,
D = 72 – 4 • 2 • (- 4) = 49 + 32 = 81, два корня, х1 = 0,5 и
х2 = - 4.
2) Разложение квадратного трехчлена
2 х2 + 7х – 4 = 2 ( х – 0,5) ( х + 4 )
Ответ: 2 х2 + 7х – 4 = 2 ( х – 0,5) ( х + 4 )

Задания
для самостоятельной работы
Разложите на множители квадратный трехчлен 3 х2 – 21 х + 30
Сократите дробь
Найдите значение выражения
при х = - 22.
х2 + 2 х - 3
х2 - 9
3 х2 +11 х - 4
6 х - 2

ответы


2.

х – 1
х - 3

ответы


1. 3 ( х – 2 ) ( х – 5 )

ответы


3. - 9

Проверь свое решение!
1) Для разложения квадратного трехчлена на множители найдем его корни, для этого решим уравнение
3 х2 – 21 х + 30 = 0,
3( х2 –7х + 10)= 0,
х2 –7х + 10 = 0,
х1 = 2, х2 = 5.
2) Разложение на множители 3 х2 – 21 х + 30 = 3 ( х – 2 ) ( х – 5 ).
Ответ: 3 ( х – 2 ) ( х – 5 ).

Проверь свое решение!
1) разложим квадратный трехчлен
х2 + 2 х - 3 на множители, для этого найдем его корни, решив квадратное уравнение
х2 + 2 х – 3 = 0, х1 = 1, х2 = - 3.
х2 + 2 х – 3 = ( х + 3 ) ( х – 1 )
2) представим х2 – 9 в виде разности
квадратов х2 – 9 = ( х – 3 ) ( х + 3)
3) выполним сокращение дроби


х2 + 2 х – 3
х2 – 9
( х + 3 ) ( х – 1 )

( х – 3 ) ( х + 3)
х – 1
х – 3
=
=

Проверь свое решение!
3. 1) разложим квадратный трехчлен 3 х2 + 11 х - 4 на множители, для этого найдем его корни, решив уравнение
3 х2 + 11 х – 4 = 0,
D = 112 – 4 • 3 • ( - 4 ) = 121 + 48 = 169, два корня,
х1 = 1/3, х2 = - 4.
3 х2 + 11 х – 4 = 3 ( х - 1/3 ) ( х + 4 ) = ( 3 х – 1 ) ( х + 4 )
2) вынесем общий множитель за скобки
6 х – 2 = 2 ( 3 х – 1 )
3) выполним сокращение дроби


4) найдем значение выражения при х = - 22
( - 22 + 4 ) : 2 = - 18 : 2 = - 9.

3 х2 + 11 х – 4
6 х – 2
( 3 х – 1 ) ( х + 4 )
2 ( 3 х – 1 )
х + 4
2
=
=

ПРОПОРЦИЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОПОРЦИИ. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ПРОПОРЦИИ.
РЕШЕНИЕ ПРОПОРЦИЙ.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ, СОСТАВЛЕНИЕМ ПРОПОРЦИИ
(ПРЯМАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ)
4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ, СОСТАВЛЕНИЕМ ПРОПОРЦИИ
(ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ)
5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ.

пропорция
Определение:
Равенство двух отношений называется пропорцией



Основное свойство пропорции:
В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов

а • d = в • с

а : в = с : d

крайние члены
средние члены

Решение пропорции
Пример
Найти в пропорции неизвестный член
0,5 : а = 2 : 13
Решение:
0,5 : а = 2 : 13;
а • 2 = 13 • 0,5;
а = ;
а = 3,25.
Ответ: 3,25.
Задание
Проверь, какие из равенств являются пропорциями (назови крайние и средние члены)
9 : 3 = 0,3 : 1;

= ;

= ;




13 • 0,5
2
1
2
0,2
0,4
8,4
21
100
4

Проверь себя!

9 : 3 = 0,3 : 1
не является пропорцией,
так как
9 : 3 = 3, а 0,3 : 1 = 0,3
3 = 0,3 – ложно
По основному свойству пропорции имеем 9 • 1 3 • 0,3

Проверь себя!
Равенство

является
пропорцией, так как



По основному свойству пропорции имеем 1• 0,4 = 2 • 0,2








1
2
0,2
0,4
=
Проверь себя!
1
2
=
0,5
0,2
0,4
=
0,5

Проверь себя!
Равенство


не является пропорцией, так как
8,4 : 4 = 2,1, а 21 : 100 = 0,21 и 2,1  0,21.
По основному свойству пропорции имеем 8,4 • 100  21 • 4

8,4
4
=
21
100

Задание
для самостоятельной работы
Решите пропорцию
а) 5 : 4 = 25 : х;
б) х : 8 = 1,5 : 2;
в) 2 : х = 2,5 : 1,25

Решите уравнение
а)


б)


в) (реши данное уравнение двумя способами)

ответы
а) 20;
б) 6;
в) 1.

ответы
2 а) 4;
б) 3;
в) 2.

Проверь себя!
Решите пропорцию 5 : 4 = 25 : х
Решение: по основному свойству пропорции имеем 5 х = 25 • 4;
5 х = 100;
х = 100 : 5;
х = 20.
Ответ: 20.

Проверь себя!
Решите пропорцию х : 8 = 1,5 : 2
Решение: по основному свойству пропорции имеем 2 х = 8 • 1,5;
2 х = 12;
х = 12 : 2;
х = 6.
Ответ: 6.

Проверь себя!
Решите пропорцию 2 : х = 2,5 : 1,25
Решение: по основному свойству пропорции имеем 2,5 х = 2 • 1,25;
2,5 х = 2,5;
х = 2,5 : 2,5;
х = 1.
Ответ: 1.

Проверь себя!
Решите пропорцию

Решение: по основному свойству пропорции имеем 2 • (х – 2) = 1 • 4;
2 • (х – 2) = 4; или 2х – 4 = 4;
х – 2 = 4 : 2; 2х = 4 + 4;
х – 2 = 2; 2х = 8;
х = 2 + 2; х = 8 : 2;
х = 4. Х =4.
Ответ: 4

Проверь себя!
Решите пропорцию

Решение: по основному свойству пропорции имеем 6 • (11 – 3х) = 4 • 3;
6 • (11 – 3х) = 12; или 66 – 18х = 12;
11 – 3х = 12 : 6; 18х = 66 – 12;
11 – 3х = 2; 18х = 54;
3х = 11 – 2; х = 54 : 18;
3х = 9; х = 3.
х = 9 : 3;
х = 3.
Ответ: 3.

Проверь себя!
Решите пропорцию

Решение: I способ 1) запишем 1 в
виде дроби 1=
2) по основному свойству пропорции имеем
1• ( 2 х + 1) = 5 • 1;
2 х + 1 = 5;
2 х = 5 – 1;
2 х = 4;
х = 4 : 2;
х = 2.
Ответ: 2.

Решение: II способ
1) запишем 1 в виде дроби

;

2) знаменатели равны, то равны и числители. Имеем 2х + 1 = 5;
2х = 5 – 1;
2х = 4;
х = 4 : 2;
х = 2.
Ответ: 2.
1
1
=
5
5
1

Решение задач,
составлением пропорции
Задача 1.
За 3,2 кг товара заплатили 11 520 р. Сколько следует заплатить за 1,6 кг этого товара?
количество товара стоимость товара
I - 3,2 кг 11 520 руб.
II - 1,6 кг ? руб.
Решение: пусть х рублей стоит 1,6 кг товара.Зависимость между количеством товара и стоимостью покупки прямо пропорциональна, так как если купить товара в несколько раз больше, то и стоимость покупки увеличится во столько же раз. Условно обозначим такую зависимость одинаково направленными стрелками. 
Запишем пропорцию:
 Теперь найдем неизвестный член пропорции: х = ;
х = 5400, значит, за 1,6 кг товара заплатили 5400 рублей.
Ответ: 5400 р.
3,2
1,6
=
11 520
х
1,6 • 11 520
3,2

Решение задач,
составлением пропорции
Задача 2.
Два прямоугольника имеют одинаковую площадь. Длина первого прямоугольника 3,6 м, а ширина 2,4 м. Длина второго прямоугольника 4,8 м. Найдите ширину второго прямоугольника.
Длина Ширина
I прямоугольник 3,6 м 2,4 м
II прямоугольник 4,8 м ? м
Решение. Пусть ширина второго прямоугольника х м.
Зависимость между шириной и длиной при одном и том же значении площади прямоугольника обратно пропорциональная, так как если увеличить длину прямоугольника в несколько раз, то надо ширину во столько же раз уменьшить. Условно обозначим такую зависимость противоположно направленными стрелками. Запишем пропорцию:

Найдем неизвестный член пропорции:
х =  х = 1,8.
Итак, ширина второго прямоугольника 1,8 м.
Ответ: 1,8 м.
 















3,6
4,8
=
х___
2,4
2,4•3,6
4,8

Реши
самостоятельно
задачи
№1
Производительность первого станка – автомата 15 деталей в минуту, а второго 12 деталей в минуту. Чтобы выполнить заказ, первому станку потребовалось работать 3,6 минут. Сколько минут потребуется второму станку на выполнение этого же заказа?



№ 2
Для изготовления 18 одинаковых приборов потребовалось 27 г платины. Сколько платины потребуется для изготовления 28 таких приборов?

Проверь себя!
№ 1
производительность время
Первый станок 15 дет. 3.6 мин
Второй станок 12 дет. ? мин

Решение. Пусть время, затраченное вторым станком на выполнение заказа, х минут.
Зависимость между производительностью и временем при выполнении одного и того же заказа обратно пропорциональная, так как если уменьшить производительность в несколько раз, то надо время на выполнение заказа увеличить. Условно обозначим такую зависимость противоположно направленными стрелками. Запишем пропорцию:



Найдем неизвестный член пропорции:



Итак, время работы второго станка 4,5 мин.
Ответ: 4,5 минуты.

Проверь себя!
№ 2
количество изделий масса изделия
I - 18 приборов 27 г
II - 28 приборов ? г
Решение: пусть х г весят 28 прибора. Зависимость между количеством изделий и массой изделий прямо пропорциональна, так как если количество изделий в несколько раз больше, то и масса изделий увеличится во столько же раз. Условно обозначим такую зависимость одинаково направленными стрелками. 
Запишем пропорцию:

 Теперь найдем неизвестный член пропорции:



х=42.
Значит, для изготовления 28 приборов потребуется 42 грамма
ответ: 42 г

Дробно - рациональные уравнения
Определение дробно – рационального уравнения

Алгоритм решения дробно – рационального уравнения

Примеры решения дробно – рациональных уравнений

Решение задач составлением дробно – рационального уравнения

Дробно – рациональное уравнение
Определение: уравнение, в котором правая и левая части являются дробными выражениями, называется дробно – рациональным уравнением
Примеры:

Задание: среди уравнений выбери дробно – рациональные

Ответ неверный!
Внимательно прочитай определение дробно – рационального уравнения:
Правая и левая части – дробные выражения

молодец!
ответ верный.

алгоритм решения дробно – рационального уравнения

Примеры решения дробно – рациональных уравнений

Примеры решения дробно – рациональных уравнений

Примеры решения дробно –
рациональных уравнений

Примеры решения дробно –
рациональных уравнений

Задание
для самостоятельной работы

Решите уравнения:
№ 1


№ 2


№ 3

Проверь себя
№ 1

Проверь себя
№ 2

Проверь себя
№ 3

Решение задач

Задания для самостоятельной работы
№ 1



№ 2

Проверь себя
№ 1

Проверь себя
№ 2