Презентация - "Презентация "Свойства скалярного произведения векторов. Теория""

Свойства скалярного произведения векторов

Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом,
а какая — концом.
Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.
Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: a.

Скалярное произведение —
это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, которое не зависит от выбора системы координат

Угол между векторами может быть прямым, тупым, острым или равным нулю:
1) Если векторы сонаправлены, то угол между ними равен 0°
Так как косинус угла в 0° равен единице, то скалярное произведение сонаправленных векторов является произведением их длин. Если два вектора равны, то такое скалярное произведение называют скалярным квадратом
2) Если угол между векторами равен 90°, то такие векторы перпендикулярны друг другу
Так как косинус прямого угла равен 0, то скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0
3) Если векторы направлены в разные стороны, тогда угол между ними 180°
Так как косинус угла в 180° равен -1, то скалярное произведение противоположно направленных векторов равно произведению их длин, взятому с обратным знаком

Скалярное произведение двух векторов a и b дает в результате скалярную величину, которая равна сумме попарного произведения координат векторов a и b:
а) Геометрическая интерпретация
Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов, умноженная на косинус угла между ними:
а) Алгебраическая интерпретация
Если угол между векторами острый и векторы ненулевые, то скалярное произведение положительно, так как cosα > 0

Если угол между векторами тупой и векторы ненулевые, то скалярное произведение отрицательно, так как cosα < 0
Если угол между векторами прямой, то скалярное произведение равно 0, так как cosα = 0

Свойства скалярного произведения векторов
1) Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нулю. В результате получается нуль, если вектор равен нулевому вектору
2) Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля
3) Операция скалярного произведения соответствует переместительному закону
4) Операция скалярного умножения соответствует распределительному закону
5) Операция скалярного умножения соответствует сочетательному закону
6) Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны друг другу

Скалярное произведение в координатах